距離空間の開集合

2次元Euclid空間において
A＝{(x,y): x<y }が開集合であることを示せ。

この証明で
任意のAの元p=(x,y)に対して
ε=|x-y|/(ルート2)とする。
このとき
U(p;ε)⊆Aとなる。

ここで、
U(p;ε)⊆Aとなる事を示すために、○○の不等式を使うらしいんですが、なんの不等式を使うか教えて下さい。
また、もしよかったらU(p;ε)⊆Aの証明を教えていただけたらと思います。

（ε＝|x-y|/2)とおけば、簡単にAが開集合だと分かるんですが…）

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/06/10 00:41

○○の不等式？

点と直線の距離の公式を使えばよいのでは？
中学の教科書に載っていますよ。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
点と直線の距離の公式を使うと、Pと原点を通り傾き1の直線との距離が|x-y|/(ルート2)なるのは分かるんですが…。

そこで、ε=|x-y|/(ルート2)とおけば、
U(p;ε)⊆Aなるはずですよね？

ここで、
任意にｑ＝（u,v）をU(p;ε)の元とします。
このとき
ｑがAの元だと言いたいんですけど、これをどうやって証明するか分かりません。

補足日時：2008/06/11 02:05

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/06/09 21:00

単にギリギリまで大きく ε をとっただけですよね。

好きに証明すればいいんじゃないかな。