不等式の問題

・不等式x^2-（a^2-2a+1）x+a^2-2a<0を満たす整数ｘが存在しないようなaの範囲を求めよ。
という問題なのですが、全く手がつきません・・泣。

ヒントだけでもよいのでアドバイスお願いしますm（__）m

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/02/27 19:15

ヒントだけでも、とおっしゃるので、ではヒントだけ。

因数分解できます。
片方は（ｘ－１）です。
因数分解できれば不等式は解けます。

ａで範囲を示す。（場合わけが必要かな）

もっと違うほうから攻めれば、
片方がｘ＝１なんだから
ｘ＝０とかｘ＝２で　（左辺）＜０　が成り立たなければＯＫです。

この回答への補足

やってみました。

（x-1）・（x-a^2+2a）<0
（x-1）・[x-（a^2-2a）]<0・・・(1)
(1)が解を持ってはいけないという風に持っていきたいのですが、ここで手が止まってしまいます・・。
よかったらもうちょっとヒントをお願いしますm（__）m

補足日時：2003/02/27 22:55

この回答へのお礼

因数分解ですかーちょっと今から考えてみます。

どうもありがとうございます！

お礼日時：2003/02/27 21:26

No.6 回答者： eatern27 回答日時： 2003/02/28 18:19

f(x)=x^2-（a^2-2a+1）x+a^2-2a

がx=0、x=2の時に0以上になればいいので、
f(0)=a^2-2a≧0
f(2)=-a^2+2a+2≧0
の共通部分が答えだと思います。

この回答へのお礼

どうやら、そのようですね。
どうもありがとうございました！

お礼日時：2003/03/01 22:50

No.5 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/02/28 10:32

stripeさん、こんにちは。

因数分解というヒントは出ているようですが、ちょっとややこしそうなので
もうちょっと、ヒントを・・・

＞不等式x^2-（a^2-2a+1）x+a^2-2a<0を満たす整数ｘが存在しないようなaの範囲を求めよ。

この不等式を因数分解すると、
(x-1){x-(a^2-2a)}<0　・・・・・・・（★）
となることは、いいでしょうか？
--------------------------------------------------------------------
ここで、不等式(x-p)(x-q)<0の解を考えてみると、これは
p<q　という条件のもとでは、　p<x<q　という解になりますよね？
そこで、（★）の式を、場合わけして、ｘの範囲を考えればいいのです！
--------------------------------------------------------------------
（★）の解は、１とa^2-2a　ですから、この大小によって場合わけすればよい。

１）1<a^2-2aのとき、
　　すなわち、a^2-2a-1>0のとき。つまりa<1-√2,1+√2<a　のとき

　　ｘの範囲は、（★）より
　　1<x<a^2-2a　・・・・・（あ）
　　ここで、ｘが整数解を持たないためには、（あ）において、a^2-2aが
　　２以下であればいいことが分かると思います。
　　したがって、a^2-2a≦２
　　これを解いて、また１）の条件にあてはまるaの範囲を出してみてください。

２）1=a^2-2aのとき
　　このとき、（★）は
　　(x-1)^2<0
となり、このような実数ｘは存在しないので、この場合は不適。

３）a^2-2a<1　のとき
　　すなわち、1-√2<a<1+√2　のとき

　　（★）の解のｘの範囲は、
　　a^2-2a<x<1　・・・・・（い）
　　このような整数解ｘが存在しないためには、
　　0≦a^2-2a
　　であればいいですね。これを解いて、３）にあてはまるようなaの範囲を出せばいいのです。


場合わけがややこしいと思いますが、一つ一つ場合わけして、頑張って解いてみてください！！

この回答へのお礼

fushigichanさんこんにちは！いつもお世話になります・・m（__）m

しまった・・場合分けはもうちょっと考えればできたかもしれなかったです。
整数解というのは場合分けした後、使うんですね。

丁寧で詳しい説明どうもありがとうございます。
今からやってみたいと思います。

お礼日時：2003/02/28 16:50

No.4 回答者： Largo_sp 回答日時： 2003/02/27 23:56

(1)がでたら殆どとけているのに...

解はできればいいんですよ...
その解がポイントになるのですから....
もうひとつヒントは「整数」で無ければ問題なし......

この回答への補足

頑張ってみます!!

補足日時：2003/02/28 16:30

No.2 回答者： stone_wash 回答日時： 2003/02/27 19:03

ヒントから考えましょう。

・まず、不等式といえど、グラフの考えでいけます。
(与式)=f(x)=x^2-（a^2-2a+1）x+a^2-2a
と置きます。
x^2-（a^2-2a+1）x+a^2-2a<0を満たす整数がない。
ということは、f(x)のグラフが、X軸(Y=0)より上にこればf(x)が負になりません。（わかりにくい文ですみません。）

ということは、f(x)がX軸(Y=0)より上にこればよいのです。これを利用するときかた。

・他は、(与式)=0とおいて、解無しのときの条件を、判別式を用いて考えるのでしょうね。

この回答への補足

どうもありがとうございます。

＞f(x)のグラフが、X軸(Y=0)より上にこればf(x)が負になりません。
この方面からがんばったんですが、判別式を使うとa^4の項がでてきてしまい、因数定理を使っても0になるｘの値がみつからなくて、断念してしまいました。
でも、この考え方でよいのでしょうか？

補足日時：2003/02/27 21:03

No.1 回答者： 0shiete 回答日時： 2003/02/27 18:53

x^2-(a-1)^2x+(a-1)^2-1<0

に変形できます。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
その方面からやってみます。

お礼日時：2003/02/27 21:25