1=0.999999・・・ なんでよ？？

高校の時、数学で
1=0.999999・・・
ということを習いました。
しかし未だにこれが納得できないんです。
もちろん証明の仕方も習いましたが、どうも感情的には納得できない。
ちなみに教師に聞いたところ、
「たぶん君の世界は、無限を否定しているのだろう。無限を否定
していたら、これを理解できないよ」
と言われました。
数学では当たり前のように使うので今まで仕方なく使ってきましたが、頭のいい人、どうか納得出来る方法を教えてください。

No.28 ベストアンサー 回答者： tosa-bash 回答日時： 2008/07/15 23:12

＃２２です。

お礼のコメントありがとうございました。

＞１＝１．０００・・・・となり１＝０．９９９・・・とはならないんですよね。

1=0.9999…　は納得できなくても、
1=1.0000…　は納得できます。そんなことから、1.0000…　=1=0.9999…　という道筋でしたら、納得の範疇にあります。

0.9999…　=1

いつまでも 9 が出てくることが約束されています。続いて出てくる 9 には、私には無視できない思いがします。だから私は本心では納得がいかないのです。でも、

1.0000…　=1

どこまで 0 がでても本質的に変化はないし、無視してもいいではありませんか。坂本冬美の歌にもあったように「いつまで待っても来ぬ人と、死んだ人とは同じこと（夜桜お七でしたか…）」と感じます。

「1=0.999999・・・　なんでよ？？」の気持ちは同じですが、ここは少し違いましたかね…。

この回答へのお礼

＞「いつまで待っても来ぬ人と、死んだ人とは同じこと（夜桜お七でしたか…）」

数学の疑問に歌を例にあげる。tosa-bashさんのセンスにはお見それしました。
他のものから例をあげる、こういう人が頭のいい人なんでしょうね。
実は友人にもこの質問をしたのですが、彼曰く
「物体が近づくとき距離が縮まるよね。１０ｃｍ、１ｃｍ、０．１ｃｍ
０．０１ｃｍ、・・・と。
でも、もし君が言うように０＝０．０００・・・が成り立たなければ物体は永遠に衝突しないでしょ。
でも現実には物体は衝突する。つまり現実が０＝０．０００・・・を証明しているんだよ。」
といわれ、なるほどな～と思ってしまいました。

お礼日時：2008/07/16 10:39

No.30 回答者： ltx78 回答日時： 2008/07/17 18:57

No.29です．

もはや回答でもアドバイスでもないのですが，ここまで来てしまったのでこれだけ．

No.28のtosa-bashさんの，
> 1=0.9999…　は納得できなくても、
> 1=1.0000…　は納得できます。
というくだりはとても興味深いですね．
続く数字が0かそれ以外か，という一点しか違いはないのに，
それだけで納得できるかどうかが変わってしまうのですから．
目からうろこが落ちる気分でした．

私はこの場では教える側だったはずなのですが，いろいろと面白いことをを教えられた気がします．
こまめに回答にコメントをつけて下さった質問者さんと，
いろいろな考えを示して頂いた回答者さんたちに感謝です．

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私も今回の質問で大変勉強になりました。
たくさんの方が回答してくれた事に感謝します。
さて、この辺で回答を締め切らせていただきます。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/07/18 14:21

No.29 回答者： ltx78 回答日時： 2008/07/17 18:39

No.26, No.27です．

蛇足とは思いますが，0.999... に限らず，
「無限を計算する」とはどういうことか，を考えてみます．

まず前提として，この世界には「無限」なんてものはありません．
# 夢は無限に広がる，とか言うのはさておき．
例えば，5個のリンゴを数える，というのは簡単にできます．
100個のリンゴでも可能でしょう．
1億個だとしても，暇と時間が有り余っていればできそうです．
ここで，「数える」とは，「一つ一つ順番に番号を割り振る」ことです．
# 「計算（もしくは計数）」とは，結局のところ「数を数える」ことが起源です．

ところが，無限個のリンゴを数える，というのはいくら時間と暇と労力があっても不可能です．
「無限を数える（≒無限を計算問題として扱う）」というのは，原理的に不可能なのです．
それでも敢えて無限を扱う必要があるときは，
・有限のときはどうなのかを調べる
・さらに数を増やすとどうなるかを調べる
という手続きを踏むことで，仮想的に無限を扱います．
No.26での私の回答の
> ためしに，z=0.1としてみると，…
> zはもっと小さい数のようなので，z=0.01としてみると，…
という部分は，これらの手続きに従って無限を仮想的に扱おうとしているわけです．

そういう意味で，私のこれまでの回答はかなりいい加減です．
何せ，0.999... という実数かどうかも得体の知れない数と，
0.1や0.01という実数とを足しているのですから．
そもそもこんな足し算をして，まともな答えが得られるかどうかも分かりません．
まあ，でも，大きく間違ってはいないはずです．
こんなことを言うと，数学をまじめに扱っている人に怒られそうですが，
だいたい合っていそうな方法でおおむね正しそうな結果が出たので
それで納得しておけばいいんです．少なくとも私の中では．

> ０＝０．０００・・・が成り立たなければ物体は永遠に衝突しない
これを見て，ギリシャ神話（だったかな？）の，アキレスと亀の話を思い出しました．
アキレスは亀より速く走れるが，アキレスが亀に追いつこうとしても
アキレスが亀がいたところまでたどり着いたときには亀はそれよりも必ず先に進んでいるので，
アキレスは亀に決して追いつけない，というアレです．
…いえ，本当に思い出しただけで他意はないのですが．

No.27 回答者： ltx78 回答日時： 2008/07/15 22:39

No.26です．

よく読み返してみると，いくつもミスがありますね…お恥ずかしい．

> 実数の足し算には，「単位元」と呼ばれる数があります．
「単位元」ではなく，「零元」でした．

> 0.999... が 1 より小さいのは感覚的に（数学的にも）おかしいでしょう．
「小さいのは」でなく，「大きいのは」でした．

0 = 0.000... が成り立つかどうか，という問いですが，以下のように考えてはいかがでしょう．
ただし，ちょっとごまかしのような説明になっています．
数学的な正しさより，「納得」を優先する説明だと考えてください．

まず，「実数a, bに対して，a < b である」ということは，
「a < c < b を満たす実数cが存在する」ことである，とします．

これは私のイメージなのですが，私は0.999... を
「1より小さいあらゆる実数よりもさらに1に近い数」ととらえています．
で，0.000... は，もともと
「0.999 + z = 1」を満たすz，としたので，
0.000... は
「0より大きいあらゆる実数よりもさらに0に近い数」とも言えそうです．

このとき，0と0.000... との間に，何か実数が存在するでしょうか？
答えはNOです．
なぜなら，0.000... は，
「0より大きいあらゆる実数よりもさらに0に近い数」だからです．
言い換えれば，
「0より大きいあらゆる実数は，0.000... よりも大きい」のです．

つまり，上の「a < b」の定義に従えば，「0 < 0.000... ではない」のです．
なら，区別できないものを同じものとして扱うことに不都合があるでしょうか？
少なくとも私は何も困ることはないでしょう．

まとめると，
「どうせ誰も0と0.000...の違いなんて指摘できないんだから，同じでいいじゃん」
ってことです．

この回答へのお礼

＞「どうせ誰も0と0.000...の違いなんて指摘できないんだから，同じでいいじゃん」

なるほど、確かに同じでいいじゃんですね（笑）
難しい証明よりもltx78さんの説明が一番納得できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/07/16 10:26

No.26 回答者： ltx78 回答日時： 2008/07/15 15:50

質問者さんの疑問が，「証明が分からない」ではなく「納得できない」とのことなので，一つの考え方を挙げてみます．

納得の手助けになれば幸いです．

実数の足し算には，「単位元」と呼ばれる数があります．
その定義は，
「任意の実数xに対して，x+y=xを満たす実数y」
です．
自然に考えると0ですね．

これを少し入れ替えると，
「任意の実数x, yに対して，zが実数の単位元（つまり0）で，かつx+z=yなら，x=y」(*)
ということもできそうですね．

で，ここで，
「0.999... + z = 1 を満たすようなzはいったいどういう数か？」ということを考えてみます．

zが0でないとしてみましょう．
とりあえず，zは正の実数であるとします．
ためしに，z=0.1としてみると，
0.999... + 0.1 = 1.0999...
となるので，z=0.1ではなさそうです．
zはもっと小さい数のようなので，z=0.01としてみると，
0.999... + 0.01 = 1.00999...
となります．z=0.01でもなさそうです．

で，このままzを小さくし続けても，
0.999... + z = 1
になることは決してありません．
zが「0よりほんの少しでも大きな数」である限り，
0.999... + z
は，必ず1より大きくなってしまいます．
「zが正の実数」である限り，
0.999... + z = 1
は，決して成立しません．
つまり，
0.999... + z = 1
を満たす正の実数zは存在しないのです．

となれば，zは0か，負の実数か，どちらかです．
ですがさすがに，zが負の数のときに
0.999... + z = 1
が成り立つのはなさそうですね．
0.999... が 1 より小さいのは感覚的に（数学的にも）おかしいでしょう．
ということで，残るのは z = 0 だけです．

つまり，
0.999... + 0 = 1
なのです．
で，(*)を見てみると，「x + 0 = y なら，x = y」とあります．
というわけで，めでたく
0.999... = 1
となりました．

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
いままでで、一番納得できた気がします。すばらしいです！！
ただこの場合z = 0 だけでなく、ｚ＝０．００００・・・でもいいわけですよね。
すると0.999... = 1が成り立つためには０＝０．００００・・・も成り立たなくてはならないと思うのですが・・・。
ああ、ややこしくなってきました。
ltx78さん、もう少しで納得できそうなんです。
どうか頭の固い私を助けてください（笑）

お礼日時：2008/07/15 16:17

No.25 回答者： gootaroh 回答日時： 2008/07/15 14:06

ポイントは「9より大きな一桁の数字はない」ということです。

へんてこりんな割り算をしてみましょう。
5÷5です。ぜひ紙で筆算してみてください。
小学校の時習ったコレです。
　 ＿＿
5/5

この場合、割り算において「1」を立てずに、あえて「0.9」を立ててください。
普通に「1」を立ててしまうと、それで終わってしまい、面白くも何ともありません（笑）。
うまく書けませんが、紙なら大丈夫ですよね。
　 0.9
5/5.000
　 4.5
　　 50　
引き算すると「5」が余ります。「0」を下ろして「50」。
次に「9」を立てます。「9」より大きい一桁の数字はないので、仕方ありません。
引き算をするとまた「5」が余ります。「0」を下ろして「50」。
以下同じことの繰り返しとなって、「0.999・・・」となりました。

この計算は、余りが常に「5」で、「50」を超えない範囲で「9」を立て続けるわけです。

当然ですが、割り算においては、計算の途中で「10」を立てることができません。
「9」より大きい一桁の数字はないので当たり前ですよね。

でも、もし、仮にですが、「10」を立てることが許されていたとして、
しかも、「9」を立て続けている最中に、「10」を立てることに気付いたとしたら・・・。

そう、その瞬間から、桁上がりが続々と生じ、それが左へ左へと波及し、最後には「1.000・・・」となることでしょう。

・・・なんて、あくまでへんてこりんな割り算ですが、感覚的に分かっていただけたでしょうか？

無限って難しいですよね。想像の世界ですから。もう完全に哲学ですよ（笑）。

0.9と1との間には差がありますよね。0.99と1との間にも差はありますし、0.999と1との間にも差はあります。
0.9999だって、0.99999だって、1よりもほんの少しだけ小さいわけです。

同じように、0.999・・・と1との間にも、ほぉ～～～んの少しだけですが、隙間があります。ええ、あるんですよ、間違いなく。
1と一緒なら、最初から1と書けばいいんですから。

ところがですねぇ、0.999・・・の場合、悲しいことに、その差を指摘しようと思っても、直ちにもう一桁「9」が出現するんですよね。

で、更にわずかになった差を指摘したとたんに、また「9」が出てくる・・・。
そしてまた小さくなった隙間を指摘したとたんに、またもや「9」が・・・、の繰り返しです。

結局のところ、差を指摘しようと思ってもできないんですよね。
理由は簡単。「9」より大きな一桁の数字はないからです。

言い方を変えれば、「差がある」ということは、「（0.999・・・）< A < 1 」の「A」がどんな数値かを言えるということです。
でも「9」より大きな一桁の数字はないので、表現のしようがないですよね。

ですので、0.999・・・と1との間には「差がない」というよりも、正確には「差を指摘できない」というべきです。
文学的な表現を用いるならば、「1より小さいどんな数よりも1に近い数」とでも言いましょうか。

いずれにせよ、差を指摘できない以上、「もはや同一の数値として扱うしかありませんなぁ」というわけです。数字じゃないですよ。「数値」としてです。
ですので、0.999・・・と1は、数値としては、100％、完全に、完璧に一緒なのです。「≒」じゃありません。「＝」です。

>終わりがないものを１０倍したり、Ａとおいたり出来るのでしょうか？無限を１０倍するということが感覚的に理解できないのです。

これは問題ないのではないでしょうか。
0.9999・・・・は、確かに終わりはありませんが、逆にいえば無限に9が続くことは分かっていますので、仮に10倍するとすれば、単純に小数点が右側に一桁ずれるだけですので、終わりを待たなくても（待てませんが）9.999999・・・になるのは明らかです。10倍しようと1億倍しようと、無限に9が続くことは変わりません。

Aと置くのもおなじことで、もし0.999・・・をAだとして、A÷3は0.333・・・になります。
0.999・・・が無限に9が続くことを知らない場合は計算できませんが、我々は知っているわけですから、その上で何とか計算できるというのは、不思議ではありませんよね。


それにしても、No.22様の「循環小数を分数に直す方法による説明」は鮮やかですね。見事です。大変勉強になりました。

No.24 回答者： NMath 回答日時： 2008/07/15 01:21

詳しい証明などは他の方に任せるとして、別の意見を

0.99999・・・というのは1.00000・・・
の別表記と考えても良いかと思います。
実数の連続性から、任意の実数は十進小数展開ができます。
それが一意であるということを無意識のうちに思い込んでいるのではないでしょうか？
一意であることを証明するためには、(普通ならば)ある位から先が全て9の位であることを起こらないと仮定すべきでしょう。

また0.99999・・・≒1.00000・・・
と思ってしまうのにはどこかに最後の9が無限の彼方にあると思ってしまっているもの一つの理由だと思いますよ。

No.23 回答者： richardo 回答日時： 2008/07/14 22:09

　納得出来ないのが、正しいでしょう。

　それは定義次第です。次のどちらでも定義出来ます。

1>0.999999・・・
1=0.999999・・・

1/3=0.333・・・
と定義すれば両辺を３倍して
1=0.999999・・・
となります。

1>0.999999・・・
と定義すれば、
1/3>0.333・・・
となります。

　みんなが言っているから正しいとは限りません。
　ガリレオを初め、そのような例は沢山有ります。
　自分の考えを大切にして下さい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
多くの方が回答してくれたことに、この場でお礼申し上げます。
回答を読んでみて感じたことは、みなさんは無限の存在を受け入れていて、私は受け入れることが出来ないということが、この疑問の根本的な問題なのだと思いました。
私は1=0.999999・・・ではなく、0.9999・・・そのものの存在を認めたくないのだと思います。
そのことが、みなさんの回答を読んで感じました。
なんとも自分が頭の固い人間だと実感しました（笑）
しかし、みなさんの回答は大変勉強になりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/07/15 13:36

No.22 回答者： tosa-bash 回答日時： 2008/07/14 21:59

＞未だにこれが納得できないんです。

＞証明の仕方も習いましたが、どうも感情的には納得できない。

私も全く同じです。昔々（になりました）に習いましたが、何か誤魔化しがあるようにしか思えませんでした。ですが、別の面から「そんなもんかもしれない」と感じることがあります。それは循環小数を分数に直す方法からです。（今回は小数第１位の循環のみ）

　0.1111…　＝1/9　
　0.2222…　＝2/9
　0.3333…　＝3/9　（約分すると1/3）
　0.4444…　＝4/9

このまま続けると

　0.7777…　＝7/9
　0.8888…　＝8/9

もう一つ続けると、

　0.9999…　＝9/9

となってしまいます。となると、

　0.9999…　＝9/9＝ 1、つまり、　0.9999…　＝ 1

を認めざるを得ないことになります。
唸ってしまいました。でも、高校で習った証明よりは、こちらのほうに納得してしまいました。

あなたはいかがですか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
おもしろい考え方ですね、大変勉強になりました。
wikiで循環小数を調べたところ、
「有限小数も循環小数で、その特別な場合と考えることもできる。
１／２＝０．５００・・・・」
とのことで、つまり同じように考えると、

１／２＝０．５００・・・・
２／２＝１．０００・・・・

１＝１．０００・・・・となり１＝０．９９９・・・とはならないんですよね。
この私の考え方はあっていますかね？

お礼日時：2008/07/15 16:31

No.21 回答者： dongri5656 回答日時： 2008/07/14 20:43

もっとも基本的な事項：

収束するとは、
数の列がある値に限りなく近づくとき、その値のこと
を数列の極限あるいは極限値といい、この数列は収束
するという。

ここで、重要なことは、ある値に限りなく近づくこと
はある値に「なる」ことではないということです。