1=0.999999・・・ なんでよ？？

高校の時、数学で
1=0.999999・・・
ということを習いました。
しかし未だにこれが納得できないんです。
もちろん証明の仕方も習いましたが、どうも感情的には納得できない。
ちなみに教師に聞いたところ、
「たぶん君の世界は、無限を否定しているのだろう。無限を否定
していたら、これを理解できないよ」
と言われました。
数学では当たり前のように使うので今まで仕方なく使ってきましたが、頭のいい人、どうか納得出来る方法を教えてください。

No.10 回答者： yuu111 回答日時： 2008/07/14 13:57

こんにちは

理解するとは自分の気持ちにおさまりをつけるということですから、おさまりがつかなければそのもやもやのまま学習を進めればいいのではないでしょうか。
私は、
１＝０．９９９・・・
は式の途中の形で、９が無限に続く状態のことを数学用語で１という
と解釈しています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私もテストや受験のために仕方なくそのような形で無理矢理納得していました（笑）

お礼日時：2008/07/14 14:25

No.9 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/07/14 13:06

結局「0.9999...」をどう解釈するかという問題になります.

この形だと, 数学的には一般に a_1 = 0.9, a_2 = 0.99, a_3 = 0.999, ... という数列の極限 (が存在すれば) の値と解釈します. この数列は a_n = 1 - 0.1^n と書くことができて, n→∞ の極限で 1 に収束しますから
lim(n→∞) (1 - 0.1^n) = 1
と書くのと同じように
0.9999... = 1
です.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やはり説明するとなれば極限ですか・・・。
数学的には理解できても感情では納得できないんです。
わがままですみません・・・。

お礼日時：2008/07/14 14:23

No.8 回答者： proto 回答日時： 2008/07/14 13:04

0.999・・・の解釈の仕方なんですが、

　　0.999・・・ = Σ[n=1→∞]{9/(10^n)}
　　　　　　　　= lim[m→∞]{Σ[n=1→m]{9/(10^n)}}
と定義するならば、
厳密に
　　0.999・・・ = 1
になりますよ。


極限の意味は「その数に一致する」ではなく、「数列がある数に限りなく近づいていくときの、その近づく先の数を表す」ということですからね。
数列0.9,0.99,0.999,0.999,...の各項は1と同値になることはありませんが、近づいていく先の数を一つ挙げるとすればそれは間違いなく1です。
それを数学の記号で
(0.9,0.99,0.999,0.999,...の近づいていく先の数は1だよという意味で)
　　0.999・・・ = 1
と書きます。

たった1行の式ですが、その式の意味を正しく理解するには数列の極限の理解やε-δ論法の理解が必要になります。
高校数学までの知識でこの数式の意味を考えたとき、式が間違っているような誤解を生むかも知れませんね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
このような証明は習ったんですが、やはりどうも感情では納得できないんですよね（笑）

お礼日時：2008/07/14 14:21

No.7 回答者： noname#62940 回答日時： 2008/07/14 12:44

#4です。

他の方も仰ってる通り0.9999…＝1ではなく、0.9999…≒1ですよ。

この回答へのお礼

そうなんですか？
1=0.999999・・・で習った気がするんですが。
こんがらがってきました（笑）

お礼日時：2008/07/14 14:20

No.6 回答者： outerlimit 回答日時： 2008/07/14 12:33

＃２です

補足します

質問のことは無限とそれに関する定義に関係しています

一般的な数学の定義では
1=0.999999・・・（以下何桁あっても）は成立しません

が　無限の定義として　1=0.999999・・・が成立する　を定義すれば　それはひとつの数学です（その定義で　矛盾をきたさない体系が確立できれば）

この回答へのお礼

定義によって変わってくるんですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/07/14 13:29

No.5 回答者： dongri5656 回答日時： 2008/07/14 11:50

数学が純粋な理論を追求する学問だとするなら、

1=0.999999・・・
はあり得ません。つまり、偽です。
1≒0.999999・・・
とはしても良いでしょう。これは真とすることに
不合理が生じることはありません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
No.2さんと同じように数学では1=0.999999・・・はありえないんですか。
すると私が習ったことは何だったのでしょうか（笑）

お礼日時：2008/07/14 12:21

No.4 回答者： noname#62940 回答日時： 2008/07/14 11:48

例えば、lim n→∞ 1/nとしたときこの答えは0に収束します。

これはnを増やしたとき、1,1/2,1/3,…と徐々に0に近づいて行くからです。nが∞になったとき、1/∞＝0.0000…となり、0が無限にあることになります。よって、lim n→∞ 1/n → 0となります。これと同様に考えてみてはどうでしょうか？
0.9999…の場合、9が無限にあるわけですから、≒1となります。
0,0.9,0.99,…と1つずつ9を増やしてグラフを書くとわかりやすいかもしれませんよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
授業でもこのような説明はしていただきました。
0.9999…≒1ならば納得できるのですが、0.9999…=1は納得できないんです。

お礼日時：2008/07/14 12:19

No.3 回答者： noname#63946 回答日時： 2008/07/14 11:33

1>0.9999999

1>0.9999999999999

ですが、

1=0.9999999999999（無限に続く場合）

です。
これは１つの実数がまったく同じ２通りの表記で書けるということです。
極限には終わりがないので、0.9999…の終わりに9があるわけではありません。無限に続くので。

これでも難しいようなら、
wikiの循環小数0.999...のところを参考にしてみてください。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
wikiの方でもいろいろ調べたのですが私の頭では難しいですね（笑）

＞極限には終わりがないので、0.9999…の終わりに9があるわけではありません。無限に続くので。

そうなんです。無限に続くからこそ比べたりしていいのか疑問に思うんです。

お礼日時：2008/07/14 12:15

No.2 回答者： outerlimit 回答日時： 2008/07/14 11:29

数学では（理論ですから）

1=0.999999・・・　　はありえません（そのような定義体系の数学を提起することは可能かもしれません）

現実（物理・化学等）は　全ての事象に　誤差を認めていますから

許容誤差を規定すれば　1=0.999999・・　は成立します

くどいようですが　無限で有っても　理論からは　1=0.999999・・・はありえません

これは　ゼロ　と　ゼロに非常に近いがゼロではない　も同様です（現実に　その違いが意味を持つことは　非常に少ないです）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
このことは確か数学の極限の授業で習った気がするのですが、
数学の世界では　1=0.999999・・・はありえないのですか？
ありえないのならば、私の疑問も消滅しました。

お礼日時：2008/07/14 12:09

No.1 回答者： BookerL 回答日時： 2008/07/14 11:19

　たしかに、無限というのは難しいですね。

１と 0.9 の差は 0.1 です。
１と 0.99 の差は 0.01 です。
１と 0.999 の差は 0.001 です。

１と 0.999…… の差はいくらになるでしょう。

……が無限にあれば 差は 0.000…… と、どこまで行っても 0 です。

１と 0.999…… の差が 0 なので、１＝ 0.999…… といえます。

というのが、私の理解のしかたですが、参考になるでしょうか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
つまり　1-0.999…… =0　ということですよね。
これは0.999…… を移項しただけで実質1=0.999……
と変わらない気がするんですが（汗）
また1-0.999…… が成り立つのが納得できないんです。

お礼日時：2008/07/14 12:02