1=0.999999・・・ なんでよ？？

高校の時、数学で
1=0.999999・・・
ということを習いました。
しかし未だにこれが納得できないんです。
もちろん証明の仕方も習いましたが、どうも感情的には納得できない。
ちなみに教師に聞いたところ、
「たぶん君の世界は、無限を否定しているのだろう。無限を否定
していたら、これを理解できないよ」
と言われました。
数学では当たり前のように使うので今まで仕方なく使ってきましたが、頭のいい人、どうか納得出来る方法を教えてください。

No.20 回答者： darui4 回答日時： 2008/07/14 20:39

0.999....は循環小数なので分数の形で表せる

そうすると、0.999... = 1以外に何があるの？

No.19 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/07/14 19:50

そういえば確認しわすれていたんですが, 「0.9999.... = 1」のどこがどのように「感情では納得できない」んでしょうか?

むしろ何も考えなければ納得できそうな気もするので....

No.18 回答者： ojisan7 回答日時： 2008/07/14 19:50

以前にも（２～３年前）、これと類似の質問に回答した記憶があります。

もっとも明晰・クリアーで誰でも納得でき、いかなる反論も許さない説明は、実数論の立場からの説明ではないでしょうか。

実数の定義については、デデキントの切断がポピュラーですが、実数を構成する立場から言えば、カントール流の構成法の方が理解しやすいと思います。
カントールは、有理数のコーシー列の同値類を「実数」と定義しています。
同値関係は以下のようにします。
有理数のコーシー列{a_n},{b_n}があったとき、
∀ε>0,∃n∈N,m>nである任意の自然数mに対して、　
|a_m-b_m|<εを満たすとき、
{a_n}～{b_n}
と定義します。
この定義は、同値類の四則についてwell-definedです。

１と0.999999…について、これを適用すると、　
1,1,1,1・・・というコーシ列と
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・というコーシ列
は同じ同値類に入ります。定義により、この同値類が「１」という実数になります。
どうでしょうか。完璧ですよね。

No.17 回答者： D733 回答日時： 2008/07/14 19:01

#15です。

> 0.9999…≒1ならば納得できるのですが、0.9999…=1は納得できないんです。

TERA8492さんの言葉では、「0.9999…=1」は、
1が集合{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・}に属する
ことを意味し、「0.9999…≒1」は、
1が集合{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・}の集積点である
ことを意味しているように思えました。
上記の意味では、TERA8492さんの主張は正しいですが、やっぱり普通は、0.9999…は、#8さんや#9さんのように解釈すると思います。

結局は#9さんのおっしゃる
> 結局「0.9999...」をどう解釈するかという問題になります.
に帰着されてしまう気がします。

No.16 回答者： saus 回答日時： 2008/07/14 18:22

その数学の教師に、

「ZF論で教えてください」
というと困ると思われる。
つまり数学とは、そういうものなんです。1≠0.999999・・・

No.15 回答者： D733 回答日時： 2008/07/14 17:29

> 終わりがないものを１０倍したり、Ａとおいたり出来るのでしょうか？

TERA8492さんのおっしゃる0.999999・・・が数(実数)であれば、10倍したり、文字列で表現して各種演算を行うことは可能です。
TERA8492さんにとって、0.999999・・・は数ではないということでしょうか。それでしたら、数である1と数ではない0.999999・・・の間に等号関係が成立することはありません。数であれば、0.999999・・・が1以外ではありえないことがわかるはずです。

普通は、0.999999・・・は、#8さんや#9さんのおっしゃるとおりに解釈され、0.999999・・・=1です。

No.14 回答者： noname#63946 回答日時： 2008/07/14 15:50

読むだけでなく、

ＮＯ，１の方が回答されてることをじっくり紙にでも書きながら考えてみるといいかもしれません。

1と0.9の差は0.1で0が１個続きます
1と0.99の差は0.01で0が２個続きます
1と0.999の差は0.001で0が３個続きます
1と0.9999の差は0.0001で0が４個続きます
・
・
1と0.99999…の差は0.00000…で0が何個続くでしょうか。またその数はいくつでしょうか。
0.9999…と無限に続くと表記される数と1との差が無いことが分かると思います。

読むだけでなく、じっくり考えて書いていくのが理解への早道ではないかと思います。0.9999…とは文字で表せてるようで、実際には無限個かけないので、表記にまどわされず、数字の持つイメージや固定観念にとらわれないことも大事です。

No.13 回答者： Segenswind 回答日時： 2008/07/14 15:29

まず、

0.99999...＝１
です。
これは完全なイコールであり、決して近似ではありません。

説明の仕方、理解の仕方はいろいろありますが、
よく用いられる説明としては下記のようなものがあります。

仮にA＝0.99999...とおいたとき、
両辺に10をかけると、
　　10A＝0.99999...×10
　　10A＝9.99999...
この両辺からAを引くと
　　10A－Ａ＝9.99999...－A
　　10A－A＝9.99999...－0.99999...
　　9A＝9
両辺を9で割り、
　　A＝1
すなわち、
　　0.99999...＝1
となります。

0.99999...≠1 である、と勘違いしてしまう人が多いのは、
実生活の中で「無限」というものに接する機会がなく、感覚として認識したことがないからでしょう。
私自身、「無限」は見たことも食べたことも、感じたこともありませんし。
それ故に、「これは無限に続く小数だ」と頭で分かっていても、
「どこかに終わりがあるはずだ」と無意識に考えてしまうのではないでしょうか。

例えば上の例で、
　　0.99999...×10＝9.99999...
が納得できない人がいるのだとしたら、
0.9×10＝9.0、0.99×10＝9.90、0.999×10＝9.990 のように、
（あるはずのない）「最後のケタ」が０になるはずだ、
と、ついつい考えてしまっているのではないか、と考えられます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
この証明は知っています。
また私は無限に続く小数だからこそ終わりはないと考えています。
終わりがないものを１０倍したり、Ａとおいたり出来るのでしょうか？
無限を１０倍するということが感覚的に理解できないのです。
でも「１０倍したり、Ａとおいたりしてはなぜいけない」と逆に問われると困ってしまうのですが（笑）

お礼日時：2008/07/14 15:40

No.12 回答者： miazsm 回答日時： 2008/07/14 14:09

皆さんのような高度な数学はわからないのですが...

私も不思議でしたが、以下のように無理やり納得させてます

1/3（さんぶんのいち）　×　3　＝　1
0.333333333・・・・・　×　3　＝　0.999999999・・・・・

無限って理解できないですから

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
まず　1/3＝0.333333333・・・・・が納得できないし、
0.333333333・・・・・　×　3　が成り立つのも納得できないんです・・・。
無限って難しいですよね。

お礼日時：2008/07/14 14:29

No.11 回答者： noname#63946 回答日時： 2008/07/14 14:01

0.999…≒1

ではありません。
これはよく誤解されてる方が多いです。

0.999…=1
であり、同じ数を指します。
ですので、質問者様が習ったことで正解です。

詳しくは、専門サイトまたはwikiをご覧ください。
数学的に厳密に同じ数です。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...&#8203;

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やはり0.999…=1ですよね。
数学的には正しい・・・それはわかるんですがね～（笑）

お礼日時：2008/07/14 14:27