運動量保存の法則

運動量保存の法則の問題について

自分の回答をチェックしてほしいです

滑らかな水平な台に質量Mの板があり、その上に立っていた質量mの人が板の上を距離Lだけ歩いたとき、板はどれだけ動くか

回答
人が動く前の人の速度ｖ、動いた後の板と人の速度をV、v'として
人が歩く方向に軸を取ると、運動量保存則より
mv=-MV+mv'
V=ｍ（ｖ’－ｖ）/M
また
速度ｖ’で距離L動いたので
時刻ｔ＝L/v'
したがって板が動いた距離は
Vt＝ｍL（ｖ’－ｖ）/Mv'
としたのですが

解答だとｍL/(m+M)となっています。間違えをおしえてください

No.1 ベストアンサー 回答者： chokon_kei 回答日時： 2008/08/28 01:06

>人が動く前の人の速度ｖ、動いた後の板と人の速度をV、v'として

人が歩く方向に軸を取ると、運動量保存則より
mv=-MV+mv'
V=ｍ（ｖ’－ｖ）/M

ではなくて、人が動く前の人の速度v、人が動く速度v'、そのとき板の動く速度Vとすると、v=0なので、
0=mv'-(M+m)V　　　←板に関しては、人の質量も加えて考える！

ここから、
V=mv'/(M+m)

また
速度ｖ’で距離L動いたので
時刻ｔ＝L/v'
したがって板が動いた距離は
Vt＝mv'/(M+m) × L/v' =mL/(M+m)

となります。
あと、基本的に回答に使うことのできる文字は、問題文に示されている文字のみです。
間違いがあるかもしれませんが、私の回答は以上です。物理、頑張ってください！

この回答へのお礼

もやもやしてることがなくなりました！
ありがとうございます

お礼日時：2008/08/28 16:07

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2008/08/28 08:47

＃２です。

書き間違いをしていました。

＞ここに（１）を変形したＶ＝－ｍｖ'/Ｖを代入します。

→ここに（１）を変形したＶ＝－ｍｖ'/Ｍを代入します。

＞Ｌ２＝ｍＬ/(ｍ＋Ｍ)が出てきます。

→Ｌ２＝－ｍＬ/(ｍ＋Ｍ)が出てきます。
（Ｌ２は負のはずでしたから。）

ついでに
人が運動する立場で言えば、距離は板の上で測るというのは自然です。
「端まで歩いた」という表現もよく出てきます。
相対運動の問題でも「動いている電車の中で進行方向に１両分歩いた時に地面に対してはいくら移動しているか」と言うような問題はよくある設定です。

ところが運動量の和が保存するという性質は作用・反作用の法則を使って導いていますから２つの物体を対等に見ています。２つの物体の外側に基準があります。この場合は台ガ基準です。

速度や位置ガ出てきたときに何が基準になっているのかはいつも意識する必要があります。

運動量の和が保存するということと、重心運動が保存するということとは同じ内容です。どちらも作用・反作用の法則の性質を使っています。したがって重心運動を考える基準も２つの物体の外側にあります。

この回答へのお礼

なるほど、問題の解く手ほどき
ありがとうございます

お礼日時：2008/08/28 16:10

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2008/08/28 08:10

こんにちは。

間違っている箇所は、＃２様がおっしゃるとおりです。
ひっかけ問題のような印象を受けますけれども。


さて、
板が動いた距離をｘと置きます。
（人の進行方向をプラスと考えるので、ｘ≦０　です。）

実は、これ、
「歩く前と後とで重心が動かない」という条件から、
いきなり、

ｍ（Ｌ＋ｘ）　＋　Ｍｘ　＝　０
（ｍ＋Ｍ）ｘ　＝　－ｍＬ
ｘ　＝　－ｍ／（ｍ＋Ｍ）・Ｌ
（　Ｌと逆方向に　ｍ／（ｍ＋Ｍ）・Ｌ　だけ動く）

と、一発で求まります。

歩く前では重心の速度がゼロですから、運動量が保存されれば重心は移動しませんからね。



「真面目」に運動量保存で解いても、同じことです。
Ｍの速度をＶ、ｍの板の上での速度をｖ　と置けば、

ｍ（ｖ＋Ｖ）　＋　ＭＶ　＝　０
（ｍ＋Ｍ）Ｖ　＝　－ｍｖ
Ｖ　＝　－ｍ／（ｍ＋Ｍ）・ｖ
仕上げに両辺に時刻ｔをかけて、
Ｖｔ　＝　－ｍ／（ｍ＋Ｍ）・ｖｔ
ｘ　＝　　－ｍ／（ｍ＋Ｍ）・Ｌ


以上、ご参考になりましたら。

この回答へのお礼

おお、重心からの求め方ははじめてみました
ありがとうございます

お礼日時：2008/08/28 16:11

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2008/08/28 07:17

あなたの使っている文字を使います。

動く前はｖ＝０です。
したがって
ＭＶ＋ｍｖ'＝０　・・・　（１）
です。
Ｖとｖ'とは符号が反対です。逆向きの方向に動くということです。
このＶ、ｖ'は台にたいするものです。
台に対しての位置の変化は時間をｔとして
人　Ｌ１＝ｖ'ｔ
板　Ｌ２＝Ｖｔ
です。Ｖ＜０ですからＬ２＜０です。反対向きに動いています。
人が板の上を動いた距離がＬですから
Ｌ＝Ｌ１－Ｌ２＝(ｖ'－Ｖ)ｔ
です。これより
Ｌ２＝ＬＶ/(ｖ’－Ｖ)
ここに（１）を変形したＶ＝－ｍｖ'/Ｖを代入します。

Ｌ２＝ｍＬ/(ｍ＋Ｍ)が出てきます。

＞ｔ＝Ｌ／Ｖ
としているところが間違っています。
Ｌは板の上で人の移動した距離です。台に対する移動距離ではありません。