０の定義

Question

＃よく分からない質問になっている可能性を感じつつ…
0 の定義を教えてください。

a+x=a
この式を満たす x を通常は 0 としています。
では、lim[n→+∞]1/n が 0 か判定しようとすると
a+lim[n→+∞]1/n = a ?
両辺から a を引くと
lim[n→+∞]1/n = 0 ?
これでは元に戻ってしまいます。
それに、a と b が等しいかどうかの判定が
a - b = 0 ?
ではないでしょうか。

そこで、0 の定義と、それに従った lim[n→+∞]1/n が 0 かの判定を教えてください。

arrysthmia · Accepted Answer

0 の定義は、「任意の整数 a について a + x = a が成り立つような整数 x」です。

そのような x が存在することは、「整数」の定義の一部なので、その存在については
「だって、それが無かったら、整数じゃないじゃん」以外の証明はありません。

lim[n→+∞] 1/n が 0 になることに証明を与えるには、lim の定義をきちんと
行うことが必須です。「ドンドン行くとドンドン」式では、証明になりませんから。
数列 a_n の極限 lim[n→∞] a_n が α になるとは、
任意の正数 ε に対して、自然数 M が在って、n > M ならば | a_n - α | < ε
が成立することを言います。

この「極限」の定義に照らして、lim[n→+∞] 1/n = 0 は、
任意の正数 ε に対して、自然数 M が在って、n > M ならば | 1/n | < ε
と言い換えることができます。これは、
任意の正数 ε に対して、自然数 M が在って、1/M < ε
とも同値です。この三番目の形は、「実数」の定義の一部であるアルキメデスの公理
そのものです。よって、自明。

この証明の中で、上記の 0 の定義は、| 1/n - 0 | = 1/n と計算するときに使いました。

arrysthmia · Answer

＞ アルキメデスの公理が成り立たない数の定義も作れそうですね。

非アルキメデス数系については、下記の参考書をお勧めします。
http://www.amazon.co.jp/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E8%AB%96-%E3%81%A1%E3%81%8F%E3%81%BE%E5%AD%A6%E8%8A%B8%E6%96%87%E5%BA%AB-D-%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88/dp/4480089535

よく知られた概念に、同値だが、表面上全く異なる定義を与えることは、
意義深い考察です。「アルキメデスの公理の 0」なる 0 の定義は、一度
聞いてみたかったですね。残念。

arrysthmia · Answer

←No.5 補足
＞ 0 は関係あると思います。

関係があるとは、言えます。しかし、「アルキメデスの公理の 0」という表現に
意味が無いことは変わりありません、アルキメデスの公理は、0 を定義するものでは
ありません。公理を記述する文章に「正の実数」が登場することは、むしろ、
その公理以前に「正の実数」の概念が定義済みでなくてはならないことを示します。
「正の」が既定義であれば、0 は「x も -x も正でないような x」として定義する
ことができ、0 を定義するにあたって、アルキメデスの公理の出番はありません。

＞ 距離 0 が数の一致を意味しないとしたら、0 の唯一性は無くなりますか？

同語反復であり、無意味です。貴方は、0 が唯一であることを、数の一致と
呼んでいるだけですから。

arrysthmia · Answer

←No.3
＞ 加法の単位元の 0 とアルキメデスの公理の 0 が一致するのは、偶然ですか必然ですか？

アルキメデスの公理の普通の表現は、
「任意の正の実数 a, b に対して，a n > b が成り立つような自然数 n が存在する。」 です。
式を a/b > 1/n と変形すれば、先に書いた形になります。
…どこにも、0 はでてきません。 何か勘違いをしているのではないですか？

もし、それを、lim[n→∞] 1/n が加法単位元と一致するのは偶然か必然か？ という意味で
訊いているのなら…　(「アルキメデスの公理」という語の使い方が、おそらく間違っていますが、)
その必然性を示すために書いたのが、No.3 の証明です。

もともと、質問は、

＞ 0 の定義と、
＞ それに従った lim[n→+∞]1/n が 0 かの判定を　　←コレ！
＞ 教えてください。

だった筈です。それに対する回答が、

＞ この証明の中で、上記の 0 の定義は、| 1/n - 0 | = 1/n と計算するときに使いました。

です。
アルキメデスの公理は枝葉末節。こっちのほうが要点だったのですが、気が付かなかったですか？

funoe · Answer

０の定義

整数を自然数から構成的に導入する方法を採用した場合、
自然数の順序対（a,b）：a,b∈N
に、
同値関係
（a,b)＝(c,d)　⇔　a+d=b+c
加法
（a,b)+(c,d)＝(a+c,b+d)
と定義し（乗法の定義は略）、この順序対の同値類（a,b)/＝
における、
(a,a)を代表元とする類こそが、整数の０　の定義です。

ここから整数の順序対により有理数を、
有理数の切断、あるいは、有界単調有利数列、あるいは、有理数のコーシー列
などで実数を構成することで、この整数で定義された０が
有理数体や、実数体の加法単位元としての０に自然に同一視されます。


（他に「体の定義を満たす集合があって」から始めて天下り式に
０を定義する方法もあります）



－－－－
極限(lim）の定義

簡単にはNO3さんのとおり
（∀ε＞０∃Ｍ　n>M⇒｜1/n-A｜＜ε　）　
⇔
lim[n→+∞]1/n＝A
が定義ですから、Ａ＝０　が確認できます。


厳密な意味での極限　lim[n→+∞]1/n 　の定義を
知りたいなら、ε－δによる定義をちゃんと勉強してください。
そうすれば、これが０であることは全く議論の余地のないものであること
が確認できます。

limの厳密な定義を理解する前に、
a+lim[n→+∞]1/n=a　などと書いてしまうのが、悪く言えば幼稚です。
この＋は、どの集合上でどのように定義された演算ですか？
aはおそらく実数でしょうが、 lim[n→+∞]1/nは実数ですか？
両辺からaを引いてもよいのですか？それは証明された定理ですか？

そういったことを一つ一つ確認して欲しいと期待します。
（例えば、自然数a,b,cがあって、a+b=a+cのときb=cであることやa+b=b+aであることを証明できますか？）

そうすることで、数学は厳密な定義のもとに構築されており、
稚拙な直感による「こうなりそう」「こうであって欲しい」
「こうなるはずだ」などというレベルの幼稚な理解から脱却してくれる
ことを期待します。

gef00675 · Answer

lim[n→+∞]1/n =0
有理数の稠密性？　アルキメデスの公理かな？

eroermine · Answer

lim[n→+∞]1/n これがゼロに等しかったら中高でやる微分の定義が崩壊してしまうのでは。

０の定義

0 の定義は、「任意の整数 a について a + x = a が成り立つような整数 x」です。

＞ アルキメデスの公理が成り立たない数の定義も作れそうですね。

←No.5 補足

←No.3

０の定義

lim[n→+∞]1/n =0

lim[n→+∞]1/n これがゼロに等しかったら中高でやる微分の定義が崩壊してしまうのでは。

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＞アルキメデスの公理が成り立たない数の定義も作れそうですね。

　lim[n→+∞]1/n =0