xについて微分するとは

f(x)=x3 という三次関数でこれをxについて微分するということはx軸上のある値xにおけるf(x)=x3の接線の傾きを求めるということなのですか？誤解しているところがあれば教えていただければ幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2009/01/11 00:34

こんばんは。

おそらく高校生のお方ですね。

それは洗練された言い方ではないですが、
まずは、その解釈でよいですよ。

「洗練された言い方ではない」と言った理由は、
微分というのは、基本的に、何かに対する他の何かの変化の比であって、
そして、また、
微分が表すものは、接線の傾きだけではない、ということです。
たとえば、
位置（距離）を時刻（時間）で微分すれば速度になり、速度を時刻で微分すれば加速度になります。
重力による位置エネルギーを距離で微分すれば、重力になります。

逆に言えば、
微分法というものは、非常に有用で使い道が幅広いということです。
私見ですが、高校数学の中で最も重要です。


以上、ご参考になりましたら。

No.6 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/01/14 00:46

y = x^3 の、x = 0 における接線は、y = 0 (x - 0) + 0 で問題ありません。

「接線」の定義を確認のこと。

No.5 回答者： pochy1 回答日時： 2009/01/13 12:00

No.3です。

失礼しました。書き直します。

例えば、x=0 の時を考えると、微分で求めた傾きは0になり、(0,0)を通る直線はy=0 です。一方、(0,0)では接線はありません。
増加から減少に転じる極値の時には、このようなことが起きます。

No.4 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/01/11 19:55

f(x) = x^3 のとき、f ' (1) = 3 。

(1, 1) を通る接線は、y = 3 (x - 1) + 1 。

f ' (x) = 3 x^2 だからね。

No.3 回答者： pochy1 回答日時： 2009/01/11 15:46

理解はされていると思いますが、「接線」と書くと、ちょっと言葉が違います。

例えば、x=1 の時を考えると、微分で求めた傾きは1になり、(1,1)を通る直線はy=3x-2 です。
グラフを書いてみると、これはy=x^3 の接線とは言えませんよね？
３次関数の微分で求められるのは、ある値xにおけるyの増加量です。
言い換えれば、xの瞬間にどれだけ増加の勢いがあるかを直線の傾きで表しているともいえます。

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/01/11 01:01

全く、そのとおりです。

誤解はありません。

f(x) = x^3 以外にも、様々な関数の微分を求めることができますが、
f ' (x) を求めるのに先立って、y = f(x) のグラフを描いてみれば、
結果的に、このグラフの傾きを求めたことになっています。

ただし、「では、どうやって接線の傾きを求めたらいいの？」かを
考えるときには、微分することを、もう少し別の言葉で定義し替える
必要が生じます。それが、教科書に載っている
f ' (x) = lim[h→0] { f(x+h) - f(x) } / h です。
同じことを、言い替えているだけなんですけれども。