方程式の解き方

唐突ですみません。

ax=tanh(x) (0 < a < 1)

の解き方を教えて下さい。

No.6 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2003/02/14 00:23

siegmund です．

> 数値計算をやったことがないのですが、例えば「Mathematica」でもやれるんでしょうか?

mathematica が使えるのでしたら
FindRoot[0.5*x == Tanh[x],{x,2}]
とやってみて下さい(Shift＋Return を押す)．
a=0.5 に相当しています．

大文字，小文字は区別があります．
かっこの種類にも注意．
0.5*x == Tanh[x] が方程式を与えていますが，
単に = でなくて == と２つ続けるあたりにも注意してください．
{x,2} は x=2 付近から解の探索を始める意味です．

No.5 回答者： mmky 回答日時： 2003/02/13 14:03

mmkyです。

乱暴でしたか。質問者さんごめん。
皆さん間違いの指摘ありがとう。
追伸まで

この回答へのお礼

いえいえ、とんでもございません。
とても丁寧な返答に、感激しています。
そして皆様のご返信にも、とても感謝しています。
有り難うございました。

お礼日時：2003/02/13 17:18

No.4 回答者： siegmund 回答日時： 2003/02/13 13:20

ranx さん，springside さん，ご指摘のように微分しちゃっちゃまずいです．

(1)　　ax = tanh x
は超越方程式という分類に入るもので，きれいな形に解を表現することはできません．
グラフ的に見れば，y = ax と y = tanh x との交点を探せばよいわけです．
y = tanh x のグラフの概形は下図のようで，原点から傾き１で立ち上がり，
だんだん傾きがなまりながら y=1 の水平線に漸近していきます．
グラフは，モニターから少し離れて目を細くして見ると多少ましかも知れません．

ｙ

│
│
├────────────
│
│　　　　　　　　　＊＊＊＊
│　　　　　　＊＊＊
│　　　　＊＊
│　　＊＊
│　＊
│＊
└────────────　ｘ
０

したがって，x=0 は常に解です．
a≦0 あるいは a≧1 なら 解は x=0 のみですね．

問題の 0<a<1 の場合は解が x=0 の他に２つ(x>0 の解と x<0 の解，絶対値が等しい)あります．
上のグラフは x>0,y>0 の場合のみ描いていますが，
x<0,y<0 にも原点に関して点対称な部分があります．

結局，a を具体的に与えて数値計算より仕方がないでしょう．

この回答へのお礼

なるほど...

素敵なグラフまで、ご用意して頂き有り難うございました。

数値計算をやったことがないのですが、例えば「Mathematica」でもやれるんでしょうか?

お礼日時：2003/02/13 17:22

No.3 回答者： springside 回答日時： 2003/02/13 11:17

方程式を解くときに、「両辺を微分する」というのは間違いだと思います。

仮に、「方程式x^2=3x-2を解け」という問題があった場合、両辺を微分すると、
2x=3
∴x=3/2
となりますが、与方程式の解はx=1,2なので、正しい答えではありません。

さて、ax=tanh(x)ですが、xの１次式関数と指数関数が混在している形なので、x=○というふうにきちんとした形にはならないと思うのですが。具体的にaの値を与えて数値的に解くというのならあり得ますが。

No.2 回答者： ranx 回答日時： 2003/02/13 10:21

ちょっとちょっと、mmkyさん、

> 左辺のｘを消すために両辺をxで微分すると、
これは乱暴じゃないですか？
二つのグラフ
y=ax　と
y=tanh(x)
の交点のところで、両グラフの傾きは同じじゃないと思いますよ。
それはそうと、どうやって解こうか．．．。
ちょっと考えさせて下さい。

No.1 回答者： mmky 回答日時： 2003/02/13 09:51

参考程度に

双曲線関数は面倒ですよね。
ｘについて解くということですよね。

ax=tanh(x) (0 < a < 1)
左辺のｘを消すために両辺をxで微分すると、
{tanh(x)}'=sech＾2(x)=1/{cosh(x)}＾2 故、
a=1/{cosh(x)}＾2
{cosh(x)}＾2=1/a
cosh(x)=±√(1/a)
cosh(x)={e＾x+e＾-x}/2　：定義から
{e＾x+e＾-x}=±2√(1/a)
e＾x=y, y≠0
{y-(1/y)}=±2√(1/a)
両辺にyを掛けると、
y＾2-1=±2√(1/a)*y
ｙの二次方程式(1)が出来ますね。
y＾2-(±)2√(1/a)*y-1=0 --(1)
(1)の解は、(0<a<1)
y={(±)2√(1/a)±√{(4/a)+4}}/2
={(±)√(1/a)±√{(1/a)+1}}
yを元に戻して、
e＾x={(±)√(1/a)±√{(1/a)+1}}
対数を取れば、
x=ln{(±)√(1/a)±√{(1/a)+1}}
になりますね。

ということかな。