球の半径を求める

　東大の過去問らしいのですが、質問を受けて数日間
　考えて、糸口さえつかめません。
　どなたか解決法教えていただければ
　幸いです。
　
　問題は、半径　ｒ　の球に内接する四面体
　ABCDがある。BC=CD=AD=AC=2　AB=√３
　の時、半径　ｒ　を求めよ
　というものです。
　
　よろしくお願いします

　
　

No.6 ベストアンサー 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/03/17 13:37

●＃４です。

間違ってました。早とちり・・・重心は三角形の重心の公式を使ってしまっている。外接円の中心係数が（1/３）でなく（1/４）になるはずだ。・・・すべて無視してください。
ただ、ほかに模範解が有りました。
　http://web2.incl.ne.jp/yaoki/balc.htm
参考までに。

No.5 回答者： htms42 回答日時： 2009/03/17 11:10

＃１に補足します。

底面の正三角形ＡＣＤの重心をＧとします。
ＡＧ：ＧＥ＝２：１ですからＧＡ＝ＧＣ＝ＧＤ＝√(４/３)です。
中心ＯはＧに立てた垂線上にあります。この垂線とＥＦの交点が中心Ｏです。
この四面体は正四面体に比べて少し平べったいです（ＡＢの長さが２から√３に変わっています）。その分外接円の半径も小さくなります。正四面体の時の外接円の半径は√(３/２)です。
√(４/３)＜ｒ＜√(３/２)で検算が出来ます。

　

この回答へのお礼

模範解答ありがとうございました
　あざやかな解答ですねえ。
　助かりました
　

お礼日時：2009/03/17 14:03

No.4 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/03/17 10:09

●いろんな方法があって、どれにしようかと思うが、とりあえず機械的に計算してたら答えが出そうなベクトルを使ってみよう。

・・・解く前に、図形の特徴から、いらない項が消えるんだろうと予測する。以下，添え字（ｖ）はベクトルと考えてください。（上に→に書き換えて。。。）

０）立体・・・３つベクトルをとる。
　AB（ｖ）＝ｂベクトル，AC(ｖ）＝ｃベクトル，AD（ｖ）＝ｄベクトル，以下これをa,b,cとかく。
　ｂ＾２＝(√３）＾２＝３，ｃ＾２＝（２）＾２＝４，ｄ＾２＝（２）＾２＝４がわかっている。

重心をGとおく。

１）重心の公式
　AG（ｖ）＝(１/３）｛ｂ＋ｃ＋ｄ｝
　AG＾２＝(1/9）｛ｂ＾２＋ｃ＾２＋ｄ＾２＋２ｂ・ｃ＋２ｃ・ｄ＋２ｂ・ｄ｝
　※ｂ・ｃ，ｃ・ｄ，ｂ・ｄは単に積ではなく内積。以下同様！
　※2乗の項は『絶対値』の記号を省略している。以下同様！

２）他の3つの頂点から重心に引いたベクトルを求める。同じように2乗を求めておく。
　BGｖ＝AGｖ－ABｖ＝(１/３）｛ｂ＋ｃ＋ｄ｝－ｂ＝（1/3）｛ｃ＋ｄ｝－(2/3)ｂ
　CGｖ＝AGｖ－ACｖ＝(１/３）｛ｂ＋ｃ＋ｄ｝－ｃ＝（1/3）｛ｂ＋ｄ｝－(2/3)ｃ
　DGｖ＝AGｖ－ADｖ＝(１/３）｛ｂ＋ｃ＋ｄ｝－ｄ＝（1/3）｛ｂ＋ｃ｝－(2/3)ｄ

　BGｖ＾2＝（1/9）｛４・ｂ＾２＋ｃ＾２＋ｄ＾２－４ｂ・ｃ＋２・ｃ・ｄ－４・ｂ・ｄ｝
　CGｖ＾2＝（1/9）｛ｂ＾２＋４・ｃ＾２＋ｄ＾２－４ｂ・ｃ－４・ｃ・ｄ＋２・ｂ・ｄ｝
　DGｖ＾2＝（1/9）｛ｂ＾２＋ｃ＾２＋４・ｄ＾２＋２ｂ・ｃ－４・ｃ・ｄ－４・ｂ・ｄ｝
※きれいな交代式になってて・・・・

３）内積の項を消す工夫
　この3つの式を加えると，
　BGｖ＾2＋CGｖ＾2＋DGｖ＾2
　＝（1/9）｛６・ｂ＾２＋６・ｃ＾２＋６・ｄ＾２－６ｂ・ｃ－６・ｃ・ｄ－６・ｂ・ｄ｝
AGｖ＾２と比べると３AGｖ＾２＋｛BGｖ＾2＋CGｖ＾2＋DGｖ＾2｝を作ると、求めにくい内積の項がきれいに消えることがわかる（期待したとおり！！）。
３AGｖ＾２＋｛BGｖ＾2＋CGｖ＾2＋DGｖ＾2｝
　＝３×(1/9）｛ｂ＾２＋ｃ＾２＋ｄ＾２＋２ｂ・ｃ＋２ｃ・ｄ＋２ｂ・ｄ｝＋（1/9）｛６・ｂ＾２＋６・ｃ＾２＋６・ｄ＾２－６ｂ・ｃ－６・ｃ・ｄ－６・ｂ・ｄ｝
　＝ｂ＾２＋ｃ＾２＋ｄ＾２＝３＋４＋４＝１１

４）ここで，AGｖ＾２＝BGｖ＾2＝CGｖ＾2＝DGｖ＾2＝R＾２；R半径だから
　３AGｖ＾２＋｛BGｖ＾2＋CGｖ＾2＋DGｖ＾2｝＝６R＾２
　よって６R＾２＝１１
R＞０よりR＝√（１１/６）

途中計算ミスがないかチェックしてください。

No.3 回答者： noname#84841 回答日時： 2009/03/17 10:07

次に、△ABGに着目して、三平方の定理からBGを出します。

次に座標軸(原点をG、x軸をGA、y軸をGB)としてPB＝PAとなるP

以上の部分を訂正します。図を間違えてました。
次に、△ABGを含む平面に着目して、∠BAG＝60°から
座標軸(原点をG、x軸をGA、y軸をGP)としてPB＝PAとなるP

No.2 回答者： noname#84841 回答日時： 2009/03/17 09:42

条件

BC=CD=AD=AC=2
から△ACDは正三角形です。
平面ACDで切断すると、△ACDとそれの外接円が出ますから、この外接円の中心は、△ACDの重心ということになります。(△ACDは正三角形のため)
積分で球体の体積を出す時に習ったかもしれませんが、球は円を縦に垂直に積み上げたものですから、球の中心Pはこの正三角形ACDの重心Gの真上(＝△ACDの重心を通り平面ACDに垂直な直線上)に有る事になります。
次に、△ABGに着目して、三平方の定理からBGを出します。
次に座標軸(原点をG、x軸をGA、y軸をGB)としてPB＝PAとなるP
を出せば、球の半径が出ると思います。即席で考えたので合っているかどうか分かりません。

No.1 回答者： htms42 回答日時： 2009/03/17 09:21

外接円の中心Ｏは四面体の中にあって点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄから等距離にある点です。

半径はこの距離を求めれば求められます。
四面体ＡＢＣＤにおいて△ＡＣＤ、△ＢＣＤは１辺が２の正三角形です。
四面体の底面に△ＡＣＤをおきます。
辺ＣＤの中点をＥとします。
△ＢＡＥは１辺の長さが√３の正三角形です。中心Ｏはこの三角形の面内にあります。
ＡＢの中点をＦとします。ＯＡ＝ＯＢですから中心ＯはＥＦ上にあります。
ＥＦ上にあってＯＡ＝ＯＣになる点を探せば中心が決まります。ｒも決まります。