不等式

シュワルツの不等式を学校で扱ったとき、次の不等式が
n = 1, 2, 3 のときには成り立つことに偶然気付きました。
n = 2 のときはシュワルツの不等式です。

――――――――――――――――――――――――――
n を自然数とし、 ai, bi ≧ 0 (1 ≦ i ≦ n) のとき、
(a1^n + b1^n)*(a2^n + b2^n)* ... *(an^n + bn^n)
　　≧ (a1*a2* ... *an + b1*b2* ... *bn)^n
が成立する。
――――――――――――――――――――――――――

n = i, jのとき成立すれば、n = i*jのときも成立する
ことも発見したので、成り立つ気がするのですが…。

そこで、この不等式が成立するか、成立するなら、
どのように証明できるかを教えてください。
ついでに、名前が付いていれば、教えてくれると嬉しいです。

< 追記 >
一応、n = 3のときの証明をしておきます。

(a^3 + x^3)(b^3 + y^3)(c^3 + z^3) - (abc + xyz)^3
= (a^3 b^3 c^3 + a^3 b^3 z^3 + a^3 y^3 c^3 + a^3 y^3 z^3
+ x^3 b^3 c^3 + x^3 b^3 z^3 + x^3 y^3 c^3 + x^3 y^3 z^3)
- (a^3 b^3 c^3 + 3a^2 b^2 c^2 xyz + 3abcx^2 y^2 z^2)
= (a^3 b^3 z^3 + a^3 c^3 y^3 + b^3 c^3 x^3 - 3a^2 b^2 c^2 xyz)
+ (a^3 y^3 z^3 + b^3 x^3 z^3 + c^3 x^3 y^3 - 3abcx^2 y^2 z^2)
≧ 0 (∵ a, b, c, x, y, z > 0, 相加相乗平均の関係)
等号成立条件は、
１ : abz = acy = bcx
２ : ayz = bxz = cxy
１より、
bz = cy, ay = bx
∴ b : c = y : z, a : b = x : y
∴ a : b : c = x : y : z
このとき、２も成立する。

No.2 ベストアンサー 回答者： goopth 回答日時： 2009/05/03 19:47

追記です。

ここにヘルダーの不等式の証明があります。
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%A5%D8% …

また、こちらにヘルダーを含む不等式全般についての説明があります。
http://izumi-math.jp/F_Nakamura/kotewaza/zettait …

数年前に大学で習ったんですが、どうも記憶が曖昧なもので…
大雑把すぎてすいません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。ようやく謎が解けました。
なるほど、重み付き相加相乗平均ですか…。思いつきませんでした。

お礼日時：2009/05/03 20:42

No.1 回答者： goopth 回答日時： 2009/05/03 19:35

自信はありませんが、その不等式の一般形は「ヘルダーの不等式」だったと思います。

nがどんな実数のときも一般化されていたと思います。（自信無し…