線形2階斉次微分方程式の一般解の、定数変化法を使った求め方での、追加条件の意味を教えてください。

線形斉次2階微分方程式の一般解を定数変化法で求めるとき、
まず斉次として解き、

y = Ay1' + By2'　(1)

を求め、A，Bを変数として、式(1)の0，1，2階微分と、元の微分方程式、条件式

A'y1 + B'y2 = 0

を用いてA，Bを導出し、一般解を求めますが、

条件式A'y1 + B'y2 = 0
にはどういう意味があるのでしょうか。
そもそも、勝手に条件を加えていいのですか。

解を限定するため、式が1つでは2変数を求められないため
などの説明はよく見ますが、納得できません。

どうかよろしくお願いします。

No.4 回答者： reiman 回答日時： 2009/06/30 10:29

>私が気になっているのは、

>式(2)と条件(5)から解が導き出せるが、何を基準にして条件(5)を設定したのか、
>他の条件で解が導き出せてしまわないのだろうか。

(5)は条件ではなくて条件(4)からの帰結なので
なぜ条件(4)を勝手に設定できるかという質問になるはずだ
また条件(4)以外に別の条件で(1)の1つの解は求まらないか
と言う質問もある。
条件(4)以外の条件で解ければ「新しい解法」となるのでそれでもよい。
頑張って見つけてみればよい。
とりあえず見つかっている解法は条件(4)を使うものである。
条件(4)を勝手に設定できるのは既に述べているように自由度があるのでできるのだ。

３次方程式x^3+px+q=0
を解くときに解をx=u+vとおくと
u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0
となるがここで
3uv+p=0
とおくだろう。
これは解を２つのu,vを使ってx=u+vとしているため１つ式(3uv+p=0)を設定しても自由度があるため
xが固定されず自由に動くことができるからだ。それと同じだよ。
y=af+bg
としているため条件(4)を設定してもyは固定されなくて自由に動くことが出きるからだ。
また、一次線形微分方程式を求める場合はy=uvとしのちに勝手に1つ条件式を設定しているがこれもyが固定されず自由に動き回れるから出きることだ。

No.3 回答者： reiman 回答日時： 2009/06/25 22:13

間違い修正：(3)の条件→(4)の条件

y"+py'+qy=0 ...(0)
の互いに独立な解をf,gとするとこの一般解はA,Bを定数として
y=Af+Bg
となる。
y"+py'+qy=r ...(1)
の解を１つ求めたいのだが
y=af+bg ...(2)
の形をした(1)の解を求めることを考える。
(2)を微分して
y'=a'f+b'g+af'+bg' ...(3)
ここで
a'f+b'g=0 ...(4)
とおくと(3)は
y'=af'+bg' ...(5)
(5)を微分して
y"=af"+bg"+a'f'+b'g' ...(6)
(2),(5),(6)を(1)に代入すると
a'f'+b'g'=r ...(7)
(4)と(7)を連立させて
a',b'が求まりそれぞれ積分してa,bが求まりa,bを使って
(1)の1つの解y=af+bgが求まる。
どうして勝手に(4)の条件を設定してもいいのかだって。
(4)の条件を設定できるのは2つの関数a,bを使っているため
1つ条件を加えても自由度を保つことができyに解を含ませることが出きるからである。
実際(4),(7)より解が求まるではないか。
そもそもこの解法よりも
(0)の解の1つをfとしたとき
(1)の解のうちy=afの形のものを求めると言うやり方の方がよっぽどいい。
この場合は一次線形微分方程式をとくことになる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

説明不足で申し訳ありません。

私が気になっているのは、
式(2)と条件(5)から解が導き出せるが、何を基準にして条件(5)を設定したのか、
他の条件で解が導き出せてしまわないのだろうか。

ということのようです。

お礼日時：2009/06/30 01:33

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2009/06/25 22:06

失礼No1を撤回。

書き方がいまいちだっただけ。

y"+py'+qy=0 ...(0)
の互いに独立な解をf,gとするとこの一般解はA,Bを定数として
y=Af+Bg
となる。
y"+py'+qy=r ...(1)
の解を１つ求めたいのだが
y=af+bg ...(2)
の形をした(1)の解を求めることを考える。
(2)を微分して
y'=a'f+b'g+af'+bg' ...(3)
ここで
a'f+b'g=0 ...(4)
とおくと(3)は
y'=af'+bg' ...(5)
(5)を微分して
y"=af"+bg"+a'f'+b'g' ...(6)
(2),(5),(6)を(1)に代入すると
a'f'+b'g'=r ...(7)
(4)と(7)を連立させて
a',b'が求まりそれぞれ積分してa,bが求まりa,bを使って
(1)の1つの解y=af+bgが求まる。
どうして勝手に(3)の条件を設定してもいいのかだって。
(3)の条件を設定できるのは2つの関数a,bを使っているため
1つ条件を加えても自由度を保つことができyに解を含ませることが出きるからである。
実際(4),(7)より解が求まるではないか。
そもそもこの解法よりも
(0)の解の1つをfとしたとき
(1)の解のうちy=afの形のものを求めると言うやり方の方がよっぽどいい。
この場合は一次線形微分方程式をとくことになる。

No.1 回答者： reiman 回答日時： 2009/06/25 21:26

この間違った質問を直ちに締め切って

間違いをただし再度質問しなさい。