No.4
- 回答日時:
(2)はNo.2さんと同じ解き方なので省略します。
この解き方を覚えておけば後で役に立ちます。(1)は、実係数の方程式が複素数解を持つとき、その共役複素数も解であることを利用します。(1)の方程式を(x+U)(x^2+1)=0と置いて恒等式を解けばおしまいです。あっさりとa=1,b=-1、他の解x=1が出てきます。直接代入は計算ミスが出やすいのでお勧めしません。
No.3
- 回答日時:
(1)
X^3-X^2+AX+B=0
α=1+i
β=1-i
α+β=2
αβ=2
X^2ー2X+2=0
(X^2ー2X+2)(Xの一次式)=0
割り算を実行すると、
X^3-X^2+AX+B
=(X^2ー2X+2)(X+1)+【AX+(B-2)】
【AX+(B-1)】が恒等的に0より
A=0、B=2、他の解はX=-1、1-i
直接代入するならば、
(1+i)^2=2i
(1+i)^3=(1+i)2i=2iー2
X^3-X^2=ー2
ー2+A(1+i)+B=0
ー2+A+iA+B=0
実部と虚部に分けて
(A+B-2)+iA=0+0*i
よって、A=0、B=2
X^3-X^2+2=0
因数定理を使用、X=-1のとき
ー1-1+2=0
(X+1)(Xの二次式)=0
割り算を実行して
(X+1)(X^2ー2X+2)=0
X^2ー2X+2=0より
解の公式(その2)より
X=1±i
よって、他の解は-1、1-i
(2)
Y=2X+1
点A(1,1)
(1,1)をとおり、Y=2X+1に垂直な直線の方程式は
Y-1=(-1/2)(X-1)
Y=(-1/2)(X-1)+1
2式を連立させて
2X+1=(-1/2)(X-1)+1
2X=(-1/2)(X-1)
4X=-X+1
5X=1
X=1/5、Y=7/5
これは、A、Bの中点の座標M(1/5、7/5)
Bの座標(S、T)と置くと、
(S+1)/2=1/5
(T+1)/2=7/5
計算してB(-3/5、9/5)
または
B(S,T)とし、
中点M((S+1)/2、(T+1)/2)がY=2X+1上にある事より、
(T+1)/2=(S+1)+1、変形して
【1】2S-T+3=0
直線ABの傾きが(-1/2)より
(T-1)/(S-1)=-1/2 (S≠1) 変形して、
【2】S+2Tー3=0
【1】【2】を連立して、B(-3/5、9/5)
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