微分方程式

dy/dx = 2xの微分方程式を解くと
1/y dy = 2x dx
log|y| = x^2 + c
|y| = e^(2+c)
y = ±e^(2+c)
となると思うのですが、±ではなく＋だけではないのかといわれたのですがその理由がわからないのですがどうなのでしょうか？
もしよろしければよろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2005/05/19 22:48

#1です。

#4さんの回答のように±が付きますね。

1/y dy = 2x dx
y>0のとき
log y = x^2 + c
y= e^(x^2+c)=C e^(x^2) ---(1)
ここで, C=e^c>0
y→+0で log y→-∞ このとき　x^2 + c≧c(定数)　→-∞　とはなりえない。
ということは y→+0とはなりえないということ。---(1')

y<0のとき
z=-y>0とおくと
1/y dy =　1/(-z) d(-z)=1/z dz
=2x dx
から
log z = x^2 + c
z=e^(x^2 + c)=C e^(x^2)
=-y
y=-e^(x^2 + c)=-C e^(x^2)---(2)

y→-0で z→+0,log z→-∞ このとき　
x^2 + c≧c(定数)　→-∞　とはなりえない。
ということは y→-0とはなりえないということ。---(2')

y>0,y<0をまとめて
y=±e^(x^2 + c)=±C e^(x^2) ---(3)
(1'),(2')から
y=0の近傍の解は存在しない。
これは(3)で仮にy=0とおいた時　xは存在しない。
つまり、(3)で特にyの制限をつけなくても
実数x,yに対して(3)を解としても良いということ
ですね。

No.4 回答者： scale--free 回答日時： 2005/05/19 12:44

±は必要です。

普通微分方程式を解け、と言われたら、すべての初期値に対する解を求めなくてはなりません。
今の場合、y=e^(x^2+c)という解だけだと、y(0)<0という初期値は取れませんね。
また、y(0)のときの解は、y(t)=0ですね。

したがって、解は、
y(t)=e^(x^2+c), ( y(0)>0のとき )
y(t)=0, ( y(0)=0のとき )
y(t)=-e^(x^2+c), ( y(0)<0のとき )
となります。
しかし、よく考えると、
y(t) = y(0)e^(x^2)
とかけることに気づきます。これはすべての初期値に対して成り立つので、これが上の方程式の解なのです。

No.3 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/05/19 10:26

y = ±e^(x^2+c)

= ±e^(x^2) × e^c
= ±e^c × e^(x^2)
= C × e^(x^2)

とするとプラスマイナスはなくなるのではないですか？

No.2 回答者： legacysrm 回答日時： 2005/05/19 09:46

変数yは正であるとは限りません。

y<0の場合とy=>0の場合を分けて考えればおのずと答えは出てくると思います。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2005/05/19 08:45

dy/dx=2x　　... (1)

dy=2x dx
y=x^2 +c
となるはずですが
(1)から
1/y dy=2x dx
が出てくるのですか？

それとも (1)の問題の入力ミスですか？

この回答への補足

すみません、問題はdy/dx = 2xyで,yが抜けていました。

補足日時：2005/05/19 08:48