オイラー法とホイン法の問題で質問があります

質問させていただきます

常微分方程式の初期値問題

dy/dx=y

を初期値x0=0 y(x0)=y0として解く
xを分点、xi=ihにとるとき、
x2での真の解y(x2)の近似解Y2をオイラー法およびホイン法を用いて
それぞれh,h^2のオーダーまで求めよ。



解答には

■オイラー法
f(x,y)=y Y0=y0

Y1=Y0＋hf(x0,y0)=(1＋h)y0
Y2=Y1＋hf(x1,y1)=(1＋h)y0＋h(1＋h)y0
≒(1＋2h)y0


■ホイン法

Y1’=y0＋hy0=(1＋h)y0
Y1*=y0＋hY1'=(1＋h＋h^2)y0

Y1=(Y1'＋Y1*)/2=(2＋2h＋h^2)y0/2

Y2’=Y1＋hY1=(1＋h＋h^2)Y1
Y2*=Y1＋hY2'=(1＋h＋h^2)Y1

Y2=(Y2'＋Y2*)/2=(2＋2h＋h^2)y0/4≒(1＋2h＋2h^2)y0


こう書かれているのですが
オイラー法の
(1＋h)y0＋h(1＋h)y0
≒(1＋2h)y0

ホイン法の
(2＋2h＋h^2)y0/4≒(1＋2h＋2h^2)y0が

なぜこのように近似できるのか分かりません・・・・

あと
dy/dx=xy
でやったら、解答はどのようになるのでしょうか？

No.1 回答者： tomtom_ 回答日時： 2009/07/05 13:25

ホインの方法は，Y1までは合っているのですがY2'=....から間違っているので，もう少し考えてみて下さいね．

オイラー法の方は，丁寧に式を展開すると

(1+h)y0+h(1+h)y0
＝y0 + h y0 + h y0 + h^2 y0
＝y0 + 2 h y0 + h^2 y0
（ここで h^2 y0の項を省略！）
≒y0 + 2 h y0
＝(1 + 2 h)y0

という意味です．
（なぜ省略かは，ここでは書きません）
ホインの方は，同様にh^3の項をサックリと消してしまうことで解が得られます．

がんばって下さい．