乱数列における出現確率について

60個の項を持つ1から31までの範囲の有限自然乱数列があるとします。
1から31までの全ての自然数がこの乱数列に出現する確率はいくつですか？
計算式と共に教えてください。

補足すると、
(全事象)－(1個以上の1から31までの自然数が、この乱数列に出現しない確率)
ということです。

No.2 ベストアンサー 回答者： 20080715 回答日時： 2009/07/29 19:02

＞計算式と共に教えてください。

計算式と答えは、
(31^(-60))*Σ[k=0,31]comb(31,k)*(-1)^k*(31-k)^60
=(31^(-60))*(95946347182158023623355149146145794527
8849158205879547980895926598216013085409280000000)
=0.0031646582…
(約0.32パーセント)

(考えられるすべての乱数列は 31^60 通りあります。
この 31^60 通りのうち、特定の k 種類の数字がまったく出現しない
ようなものは、(31-k)^60 通りだけあります。
したがって、すべての種類の数字が 1 回以上出現しているものは、
包含と排除の原理より、Σ[k=0,31]comb(31,k)*(-1)^k*(31-k)^60 通りあります。)

つぎのような方法もあります。
求める確率の分母は 31^60.
分子を求めます。
60個の数字から成る乱数列において、
数字1,2,…,31 がそれぞれ a_1個,a_2個,…,a_31個出現する状況を
考えると、このような乱数列は
60!/((a_1)!*(a_2)!*…*(a_31)!) ----(☆) 通りあります。
a_1,a_2,…,a_31 が、
(a_1)+(a_2)+…+(a_31)=60,
(a_1)>0,(a_2)>0,…,(a_31)>0
を満たすように動くときの(☆)の値をすべて足し合わせたものが
求める確率の分子です。
その値は x の多項式
(60!)*(x/(1!)+x^2/(2!)+…+x^30/(30!))^31
の展開式におけるx^60の係数に等しいです。
この多項式を計算ソフトを使って展開し、x^60の係数を求めれば
分子が得られます。
x^60の係数は
95946347182158023623355149146145794527884915820
5879547980895926598216013085409280000000
です。

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました。
助かりました！

お礼日時：2009/08/01 08:58

No.1 回答者： yasei 回答日時： 2009/07/28 03:16

分母は事象全体で、31の60乗。

次に分子で、あなたの言う通りにやれば、(全体)-Σ(n=1→31)(32-n)((31-n)^60)

これで答えが出ると思いますが…。
それより(31まで1度ずつ使われていて、残りの29個を選ぶ場合)/(全体)
の方が楽だと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！

お礼日時：2009/08/01 08:57