ケプラーの第2法則の「面積速度」について

楕円軌道上を運動する衛星について、
地球の重心までの距離をｒ
速さをｖ
地球と衛星を結ぶ線分と速度のなす角度をθとすると、
面積速度は 1/2ｒｖsinθ となるそうなのですが、
これって、２辺の長さがｒ，ｖ、
その２辺がはさむ角がθの三角形の面積の式ですよね？
でも、衛星は直線ではなく曲線上を進むから、
面積速度はこの式と（ほとんど同じだとしても）違う値が出るのではないでしょうか。
なぜ 1/2ｒｖsinθ という式になるのか教えてください。

No.5 回答者： htms42 回答日時： 2009/08/12 18:32

＃３です。

ちょっと早とちりでしたね。
＞地球と衛星を結ぶ線分と速度のなす角度をθとすると、
と書いてありますね。

ケプラーの第二法則と面積速度一定ということで軌道を表す角度をθとするという方向に頭が行ってしまいました。

(1/2)ｒｖが面積速度であると言うことからはすぐに言うことが出来ます。（面積速度一定は運動方程式が必要です。）
短い時間ｔを考えれば衛星は時間ｔの間にｖの方向に距離ｖｔ移動します。地球の中心の距離はｒからｒ’に変わります。
３辺の長さがｒ、ｒ’、ｖｔの三角形が出来ます。
(1/2)ｒｖｔｓｉｎθです。（ｒを底辺と見たときの高さがｖｔｓｉｎθです。）
これはｔ秒間の面積変化ですから面積の変化率は
(1/2)ｒｖｓｉｎθです。
これが＃３に書いた(1/2)ｒ^2ωに等しいと言うのはｖを成分表示してみればわかります。（）
Ｖｒ＝ｄｒ／ｄｔ、Ｖ⊥＝ｒω
ですからｒ↑×Ｖ↑＝ｒ^2ωになります。

ベクトル積を使うような立場であれば面積速度一定というような表現ではなくて角運動量一定という表現になるでしょう。
中心力の場合であればｒ↑×Ｆ↑＝０から出てきます。

No.4 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/08/12 11:34

＞面積速度は 1/2ｒｖsinθ となるそうなのですが、

間違いやすい書き方ですけど、dS/dt=(1/2)r v sinθ　ですね。
ベクトルで書けば外積を使ってdS↑/dt=(1/2)r↑ ×v↑ 。
これであってますよ。

＞なぜ 1/2ｒｖsinθ という式になるのか教えてください。

これが微分の考えたかというものです。

角速度ωの等速円運動の場合なら計算が簡単なので(θ=π/2)、

1. 角速度ωで円弧に沿ってΔt秒移動した時の扇形の面積

と

2. 円周の接線方向に速さｖで移動した時の三角形の面積(角度変化はωΔt)

を計算してみてください。

2ではtan(ωΔt)が出てくると思うので、Δtが十分に小さいとしてこれを展開してΔS/Δtを計算し、Δt→0の極限をとってください。1と2が一致します。

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2009/08/12 11:01

＞面積速度は 1/2ｒｖsinθ となるそうなのですが、

これは面積速度の式ではありません。
こういう式はありません。

二次元（ｘ、ｙ）座標を（ｒ、θ）座標に変換したとします。
ｘ＝ｒｃｏｓθ、ｙ＝ｒｓｉｎθ
です。
Ｖｘ＝ｄｘ／ｄｔ、Ｖｙ＝ｄｙ／ｄｔ
Ａｘ＝ｄ^2ｘ／ｄｔ^2、Ａｙ＝ｄ^2ｙ／ｄｔ^2
を計算すると
Ｖｒ＝ｄｒ／ｄｔ、
Ｖθ＝ｒｄθ／ｄｔ、
Ａｒ＝ｄ^2ｒ／ｄｔ^2－ｒ(ｄθ／ｄｔ)^2
Ａθ＝２ｄｒ／ｄｔｄ／ｄｔ＋ｒｄ^2θ／ｄｔ^2
であることがわかります。
運動方程式は
Ｆｒ＝ｍＡｒ
Ｆθ＝ｍＡθ
です。
力が中心力である場合にはＦθ＝０です。これより
０＝２ｄｒ／ｄｔｄθ／ｄｔ＋ｒｄ^2θ／ｄｔ^2
両辺にｒをかけます。
０＝(２ｒｄｒ／ｄｔ)ｄθ／ｄｔ＋ｒ^2ｄ^2θ／ｄｔ^2
　＝（ｄ／ｄｔ)(ｒ^2ｄθ／ｄｔ)
∴ｒ^2ｄθ／ｄｔ＝一定
ω＝ｄθ／ｄｔと置けば
ｒ^2ω＝一定です。
１／２をつけてからｒω＝ｖとすると
ｒ^2ω／２＝ｒｖ／２＝一定＝ｋ
になります。これが面積速度一定という式です。
（ｒｖｓｉｎθ／２という式は出てきません。）
時間ｔの間に動く面積はこれに時間をかけたものになります。
ΔＳ＝ｋｔ
です。
（面積＝∫（面積速度）ｄｔ　です。
一定のものを積分するのですから　面積＝（面積速度）×（時間）になるのは当然です。時間が長いか短いかは関係がありません。）

面積速度は一定であってもｒ、ωは一定ではありません。
時間ｔが短くてｒ、ωが一定とみなせる範囲ではωｔ＝Δθですから
ΔＳ＝ｒ^2Δθ／２です。

角度が小さい時はｓｉｎΔθ≒ΔθですからΔＳは扇形の面積であるということがわかるのです。（面積速度と言う名前がはここから来ています。）

面積速度の式ｒｖ／２は瞬間値です。これが一定であれば時間Ｔの間に出来る扇形の面積はｒ、ｖが変化しても一定です。
太陽の周りの地球の運動で言うと１日に動く面積で考えれば夏でも冬でも同じです。１週間で考えても同じです。

No.2 回答者： SortaNerd 回答日時： 2009/08/11 16:47

いいえ、この式は厳密に正しいです。

誤解の原因は面積速度と面積を混同していることです。
面積速度「1/2・rv・sinθ」の次元を見てみると、「距離×速度」です。
面積の次元は「距離×距離」ですから、この2つは全く別の概念です。
(※次元→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F#.E9.87.8F … )

２辺の長さがr,v、角がθの三角形というのはあくまでこの面積速度を図示するためのものです。現実世界に「vの長さの辺」は存在しません。
無意識のうちにvにある時間を掛けた距離を見ているのでしょう。

つまり
>衛星は直線ではなく曲線上を進むから、
>面積速度はこの式と違う値が出る
ここですが、
ここであなたが面積速度だと思っているのは、衛星が現在いる位置からある時間だけ運動した時に衛星が掃く面積です。
面積速度というのは衛星が位置に応じて持つものであり、そこに動きは存在しません。

No.1 回答者： debukuro 回答日時： 2009/08/11 13:31

楕円とはいってもほとんど円です

また半径と比べて十分に小さい弧を考えれば三角形とみなしうるのです
こういう粋な計らいは数学のあちこちに見られます
ｄｘなんてのもそうですね