数IIの三角関数の問題
次の3つの問題が分かりません。
解説をお願いします。
1、関数 y=cos2x-sinx(0≦x<2π) の最大値と最小値を求めよ。
また、与えられた実数aに対して、方程式 cos2x-sinx=a(0≦x<2π)の解の個数を求めよ。
2、45°≦θ≦135°のとき、関数f(θ)=3(sinθ)^2+4√3sinθcosθ-(cosθ)^2の最大値と最小値を求めよ。
3、aを定数とする。xについての方程式 (cosx)^2+2a(sinx)-a-1=0 の 0≦x≦2π における異なる実数解の個数を求めよ。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
1 y=cos2x-sinx
=1-2(sinx)^2-sinx
=-2t^2-t+1 (t=sinxとおいた。-1<=t<=1)
=-2(t+1/4)^2+9/8
よって、最大値はt=-1/4のとき9/8
最小値はt=1のとき-2
cos2x-sinx=-2t^2-t+1=a (-1<=t<=1)
y=-2(t+1/4)^2+9/8=a において、左辺(tの二次関数)のグラフ(-1<=t<=1)を描き、
y=aと交わる点がいくつあるかを考察すれば、tの解の個数が求まります。
a>9/8、a=9/8、0<=a<9/8、-2<=a<0、a<-2で場合分けされますね。
またsinxのグラフの形状から、
t=±1のときxの解の個数=1、-1<t<1のときxの解の個数=2個とわかります。
以上からxの解の個数は、下記の通り場合分けされますね。
・a>9/8(0個)
・a=9/8(2個)
・0<a<9/8(4個)
・a=0(3個)
・-2<a<0(2個)
・a=-2(1個)
・a<-2(0個)
2 f(θ)=3(sinθ)^2+4√3sinθcosθ-(cosθ)^2
=4(sinθ)^2+4√3sinθcosθ-1
=2(1-cos2θ)+2√3sin2θ-1
=2√3sin2θ-2cos2θ+1
=4sin(2θ-π/6)+1 但し、π/2<=2θ<=3π/2
とくれば後はわかりますね?
3 (cosx)^2+2a(sinx)-a-1
=1-(sinx)^2+2a(sinx)-a-1
=-t^2+2at-a (t=sinxとおいた。-1<=t<=1)
=-(t-a)^2+a(a-1)
tの2次関数とみてそのグラフ(-1<=t<=1)を描き、当該tの範囲でt軸と
交わる点がいくつあるかを考察すれば、tの解の個数が求まります。
a<-1、-1<=a<-1/3、-1/3<=a<0、a=0、0<a<1、a>=1で場合分けされますね。
またsinxのグラフの形状から、
t=±1のときxの解の個数=1、-1<t<1のときxの解の個数=2個とわかります。
以上からxの解の個数は、下記の通り場合分けされますね。
・a<-1(0個)
・a=-1(1個)
・-1<a<-1/3(2個)
・a=-1/3(3個)
・-1/3<a<0(4個)
・a=0(2個)
・0<a<1(0個)
・a=1(1個)
・a>1(2個)
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