No.7ベストアンサー
- 回答日時:
#2です。
先ほどはどうも。読み直すとまた#3で内接、外接間違えて書いてるし・・・
いい回答が出てきたみたいですが、やってみたので一応
半径1にして考えても形は同じですから
座標と方程式で考えていくと
円 x^2+y^2=1
1つの辺を y=-1
頂点の1つをA(a,b)とします。
とりあえずbはb>1で固定(定数扱い)
するとa=0のとき最小と出ました。つまり2等辺三角形です。
この計算も書くのは大変なので省略。必要があれば書きます。
A(0,b)として考えればよい。
高さは b+1
接線の式は y=mx+b
y=-1との交点は x=(-1-b)/m
そうすると面積Sは
S=(b+1)*(-1-b)/m=-(b+1)^2/m ただしm<0
原点から接線までの距離が b/√(m^2+1)=1
より b^2=m^2+1
m<0のときm=-√(b^2-1)
よって
S=(b+1)^2/√(b^2-1) ただしb>1
これでbだけの式にできたので微分して最小になるときを
調べればよい。結果b=2で正三角形。
お礼がおそくなってしまいすみません。度々の回答ありがとうございました。こんなに計算過程がありましたとは・・・。でも、分かりやすく教えてくださったので、自分でも何とか解けそうです。
本当にありがとうございましたm(_ _)m
No.5
- 回答日時:
字で伝わるか不安ですが、やってみます。
円外のある点Pを通り、円に接する2本の直線l,mを引くとする。
このとき、l,mと、もう一つの直線で、円に外接する三角形を作るとき、
面積が最小になるものは、l辺とm辺が二等辺三角形になるものである。
証明:
Pと、円の中心を通る線を引く。これはl,mでできる角を
二等分する。この線をnとする。
直線nと円の交点で、Pから遠い方をAとする。
Aを通り、nに垂直な線をrとする。
直線l,m,rで二等辺三角形ができる。
ここで、Aを通り、rと角度がある直線sを考えてみる。
直線l,m,sが作る三角形の面積は、l,m,rで作る三角形の面積よりも大きい。
なぜならば、rとsを重ねて書いてみると、
三角形の面積の減少分より増加分が多いからである。
(ここは図を書いてください)
そして、円に接する直線tを書いてみると、
点Aを通るもの以外はrに対して角度がある。
直線l,m,tが作る三角形の面積は、
tに平行でAを通る直線t'とl,mが作る三角形の面積より大きい。
よって、l,mを2辺として作る三角形のうち、
面積最小なものは直線rをもう一辺とするものである。
さて、円に外接する不等辺三角形があった場合、
その一辺を取り直して二等辺三角形にすることによって
さらに面積の小さい三角形を出すことができる。
これに対し、正三角形では、その作業ができない。
正三角形以外はさらに面積の小さい三角形を導く方法があるのに対し、
正三角形はその方法がないので、
正三角形が、円に外接する面積最小の図形である。
(↑このへんが説明としてあやしいんだけど…)
微分を使った方が説得力があるかもしれませんね。(^^;;;
No.4
- 回答日時:
私もそうでした。
内接円だと思い、やってました(^^ゞa、b、cを与えて面積を求め、それから相加相乗平均により、三辺が一緒のとき、統合成立がa=b=cになるた
め、正三角形となるのでは?
図がなければ少し説明しにくいです。
他にもやりかたがあるかも。もちろん微分でも解ける
と思いますが。
相加相乗平均・・・なんだか非常になつかしい言葉を聞いた気が(汗)
そっから復習始めます(^_^;)
度々の回答ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
最大でしょうね。
最小ではいくらでも0に近くできますから。2点を決めればもう1つは2等辺になるように取るときが
最大なのはすぐわかるから、これを最初に断れば
原点中心の円でy軸との交点にとり
あと2点を水平に取るとかすれば変数2つで
すぐ1変数に直せそう。
頂点と中心を結んで中心角を考えれば三角関数でもできそう。
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