　再投稿：エジプトの分数問題が解けたように思えるのですが。

Question

再投稿：エジプトの分数問題が解けたように思えるのですが。
4/n=1/a+1/b+1/cとすると4/(2^n・3^m-1)の形にできる数は解くことが出来ると一般にわかっているのですが2^n・3^m-1＝p(ｐは素数)とすると、ｐは必ず解ける集合CS(n、m)に含まれることは解っていません。

OOOOOO　　　　　　　　　　　？
　　　　　　　　　　　　↑　　　　　　　　　　↑　
　　　　　　　　　　　２ｑ　　　　　　　　　2q+1
　2^n・3^m-1の形に解ける集合CS　　　2q+1はCS(n,m)集合に含まれるかどうかはまだ解らない

まずはｐは解かれていない最小の素数とします。また、ｐ以下の素数はもう解かれていて2^h・3＾k-1の形になることが解っているとします。
　　　　　ｐ＝2q+1＝2^h・3^k-1
　　　　　2q＝2^h・3^k-2
　　　　　ｑ＝{2^(h-1)}・{3^k}-1
　　　q<ｐですのでCS(n,m)に含まれます。
　CS(n,m)集合に含まれているということはｑはh、kのある自然数によって表現可能です。ということは、p=2q+1=2^h・3^h-1という形の素数にはh、kは必ず存在します。ですのでｐも2q+1も解くことができます。
　あとは解くことができるかどうかわからない最小の素数をｐとおいて、数学的帰納法を用いればすべての素数を解くことができます。

alice_44 · Accepted Answer

6∈CanSolve であっても、なくても、
13∈C じゃないことには変わりがないんですが…

ひょっとして、13 のような小さい p については、
数値実験で個別に p∈S を示せばよく、
ある程度大きい素数 p については p∈C になる
…という意味で言っているのなら、
そのことを証明しなければならない。

あるいは、たまたま p∈C であるような p
についてだけ考えているのであれば、
既に C⊆S が証明されている以上 p∈P∩C⊆C⊆S
は自明で、改めて示す必要がないし、
示したからといって何が解る訳でもない。

alice_44 · Answer

しかし残念ながら、P⊆C には反例があります。
13∈P ですが、13∈C ではありません。
確認してみてください。

貴方がどこを間違えたかといえば、
p∈C を仮定して q=(p-1)/2∈C を導いても、
p が小さくなる方向に漸化してしまうので
数学的帰納法にはならない 点です。

等式変形は同値変形ですから、善意に解釈して、
q∈C を仮定して p=2q+1∈C を導いたのだと
受けとるとしても、今度は、
C の元 q からそのように構成した p が
素数であるとは限らないし、
q が C の全ての元を渡るとき
p に全ての素数が現れる保証もありません。

つまり、何一つ証明できていないのです。
未解決問題に挑む意欲は、頼もしいのですが。

alice_44 · Answer

証明の正誤以前に、非常に解りにくい文章ですが…

「エジプトの分数問題」とは、たぶん、
4/n = 1/a + 1/b + 1/c を満たす自然数の組
a,b,c が、任意の自然数 n に対して存在する
ことを証明せよ という問題のことだと思います。

その a,b,c が存在するような n の集合を S、
自然数 h,k を使って (2↑h)(3↑k)-1 と書ける
自然数の集合を C、
全ての自然数の集合を N、
全ての素数の集合を P と書くとして、
(C⊆S) と (P⊆S ならば N⊆S) であることが
既に歴史上の数学者によって証明されています。

貴方は、P⊆C を示すことで、先の結果と併せて
N⊆S が言えると考えたのですね？

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6∈CanSolve であっても、なくても、

しかし残念ながら、P⊆C には反例があります。

この回答への補足

証明の正誤以前に、非常に解りにくい文章ですが…

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