数学Iの２次方程式の所で、共通解の問題です。

数学Iの２次方程式の所で、共通解の問題です。

[問題]
２つの２次方程式x^2+kx+1=0、x^2-x-k=0が共通な実数解をもつように定数kの値を定めよ。また、このときの共通解を求めよ。

※解答の中で疑問な事を書きます。
[解答]
共通解をαとおいて、2つの方程式に代入すると
α^2+kα+1=0…(1)
α^2-α-k=0…(2)

※ここで疑問です。
共通な実数解をもつ…共通解は１つでも２つでもOK。
共通な実数解を１つもつ…共通解は１つ。
このように問題提示によって違いがあります。
この問題は前者です。
しかし、いろんな参考書を調べても、共通解をαと置いてあり、共通解がαという1つだけだと想定してあるような気がします。しかし、仮に２つの共通解のうちもう１つをβとする。としても、答えは同じですが。
これはなぜαだけとしてOKなのでしょうか?

解答を続けます。
(1)-(2)より
※途中式省略
k=-１またはα=-１
（1）k=-1のとき
(1)、(2)のいずれに代入しても α^2-α+1=0
判別式より、これは実数解をもたないから不適。
（2）α=-1のとき
(1)、(2)のいずれに代入してもk=２
よって、（1）、（2）より
k=２、共通解は-１

※ここで疑問です。
この解答ではkもαも2式に代入してありますが、問題によって、kやαが１つの式にしか代入してない場合があります。
しかしkについては、この場合はkを代入して同じ式になりましたが、2式が違う式になる場合があるはずですよね。その場合、2式を解いて共通解を持つか確かめなければいけないから、kは2式に代入した方がいいですよね?
αについては、問題によって、多分kの値さえ分かればいいから１つの式に代入し、kを元の式に代入して本当にその共通解を持つか確かめてあります。でも一応αも２つに代入した方がいいですか？
ってかどんなときは１つに代入でOKなのでしょうか?
もうとりあえず２つに代入した方が無難だと思いますが。
また、αを代入して、もしkが違う値になったとします。定数kは同じ値じゃないといけないから、この場合は不適ですよね?
最後に、話は反れますが、範囲のある定数と範囲のある変数についてです。
定数はその範囲内でどんな値も取れるが、ある１つの数しか取れない。
変数はその範囲内で自由に動けるので、値は定まらない。つまり１つしか取れないわけではない。
みたいな解釈でOKですか?

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#117170 回答日時： 2010/08/06 08:38

そもそもαは未知数なので値が1つだろうと2つだろうとかまわないし

αのみの方程式を立てることもできる。
下半分・・・ちょっと分かりにくいが
α^2+kα+1=0…(1)
α^2-α-k=0…(2)

ならば(1)-(2)=0が成立する。さらに
(1)-(2)=0ならば
k=-１またはα=-１がいえて解いていくわけだ。

またk=-１またはα=-１がいえたということは
(1)-(2)=0もいえたことになる。
するとだ。k=-1のときは
(1)-(2)=0 すなわち(1)=(2)なので(1)の式に代入して不適切だと言うことは(2)も不適切。
逆にα=-1のときは
(1)=(2)がいえて、(1)さえ分かっていれば問題なし。だって全く(1)と(2)は全く同じ方程式を
なすから。
>>αを代入して、もしkが違う値になったとします。
この場合は論理的にならない。そもそもk=-１またはα=-１がいえただけで
(1)と(2)はまったく同じ方程式をなすので。
>>定数はその範囲内でどんな値も取れるが、ある１つの数しか取れない。
変数はその範囲内で自由に動けるので、値は定まらない。つまり１つしか取れないわけではない。
みたいな解釈でOKですか?
OKです。

この回答への補足

ちょっとすみません。
１つだけ気になる事があったので補足します。
この問題では
k=-1またはα=-1⇔（1）-（2）=0
となるのでk=-1またはα=-1⇔（1）=（2）
なのでkもαもどちらか１つに代入でOKだという事は理解できました。

しかし別の問題で
kx^2+（k-1）x+1=0…（3）
x^2+2x+k=0…（4）
という2式の場合、
解答では
k×（4）-（3）より
k=-1またはk=-α-1
となってます。
このときは
k=-1またはk=-α-1⇔k×（4）-（3）=0
すなわち
k=-1またはk=-α-1⇔k×（4）=（3）
ですね。

このときはk=-1を代入して（3）の式が出ても、これはk=-1を代入したときのk×（4）と等しいわけであって、（4）とは等しくない。つまり、こういう場合はどちらにも代入しなければならない。

まとめると
ある式f（x）=0、g（x）=0が共通解をもつとする。
f（x）-g（x）として計算して、ある値が出たならば
その値を代入するとf（x）=g（x）
なので１つの代入で十分。

しかし
kを実数の定数とする。
k×f（x）-g（x）と計算してある値が出たならば、
その値を代入することで
k×f（x）=g（x）
つまりg（x）はf（x）と等しいかは分からないので、2式に代入する必要がある。

長々しくすみません。
自分の解釈合ってますか?

補足日時：2010/08/07 00:14

この回答へのお礼

なるほど。
αとしても、αの値が２つ出る事もあるから、総称?してαと置くんですね。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2010/08/06 20:40

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2010/08/07 09:54

＃２です。

＞２つのニ次方程式が共通解をもつとき
１つはαとβ
もう１つはαとγ
というように値が違う場合があります。

そういう場合もあるでしょう。だからと言って文字を置き換えないといけないという理由にはならないはずです。解の値の可能性について述べているだけです。文字を置き換えて考えなくてはいけないと言っているのではありません。

初歩的な問題で考えます。。
ｘ^2－３ｘ＋２＝０　　式1
ｘ^2－４ｘ＋３＝０　　式２

式１の解はｘ＝１、ｘ＝２です。
式２の解はｘ＝１、ｘ＝３です。
共通解はｘ＝１です。

ｘのままでやるのではありませんか。
文字を置き換えて式を解くなんてことはやりませんね。
出てきた解の値が式1ではｘ=α、ｘ=β、式2ではｘ＝α、ｘ＝γ　の形になっているということです。
こうなるのは結果です。だからと言って方程式の文字を書き変えなくてはいけないというのではありません。解くのはｘのままでいいのです。

未知数ｋが入っていると４つの解がｋを含む表現になります。４つの解にα、β、γ、δと名前をつけます。でもどの解が共通解に対応するのかが分からないので場合分けをして吟味しなければいけなくなります。α=γ、β＝γ、α=δ、β=δの4つの場合が出てきます。こんな場合分けがあるとここで沈没するのではないでしょうか。

＃２で放物線の平行移動での考え方を書かせてもらったのそういう混乱を防ぐことができるという意味ででした。
ｘ^2の係数の等しい2つの放物線は　「一致している」か、「一点で交わっている」か、「交点を持たないか」のどれかです。一致していなくて2点で交わるということはありません。一致していなくて交点が存在すれば共通解の可能性は1つです。
２つ式からｘ^2を消去して得られる式は1次式のはずですからｘの値が求められます。これが交点の座標です。これが２つの方程式のどちらかを満たせば共通解であることが確定します。（片方に入れて確かめるだけで十分です。両方に入れる必要はありません。）

ｘ^2の項を消すというのは式を解く手順として使われている事が多いです。
でも図形的なイメージはあまり意識されていません。単に式を解く手続きの一つとしてしか考えられていないようです。
だからｘ＝・・・と求まっても他の解の可能性の吟味が必要であると考えてしまうようです。
ｘ^2の係数をそろえたのですからｘ＝・・・は1つしかない交点の座標になっています。他の解の可能性を考える必要はありません。

共通解をαと置いて解いてもかまいません。
でも余計なことをやっています。おまけにそれが重要なステップであると思い込んでしまうことで共通解の問題の構造を考えることに気が回らなくなっているように思います。

この回答へのお礼

なるほど。
確かになんでαって置かなきゃいけないんだろうって思ってました。
しかもαと置くことが重要だと思ってました。
別に絶対に文字で置かなくていいんですね。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2010/08/07 18:58

No.3 回答者： noname#117170 回答日時： 2010/08/07 06:17

補足に対する回答をします。

ちょっと頭使おうぜ。k×（4）=（3）で(3)の左辺式(・・・=0 の・・・)とk×(4)の左辺式がまったく等しいんだから(3)について解けちゃえば(4)は(3)×1/k でk≠0なので(4)も成立することが分かる。

この回答へのお礼

なるほど。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2010/08/07 18:54

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2010/08/06 09:25

私はなぜ　α　と置かなければいけないのかが分かりません。

ｘ^2＋ｋｘ＋１＝０
ｘ^2－ｘ－ｋ＝０

共通解があるということはこの２つの式を同時に満たすｘがあるということです。
それが成り立つ時のｋの値を決めよということですが
ｋも未知数ですから未知数がｘ、ｋと２つの連立方程式としていいのではないですか。

ｘが実数解を持つという条件を添えれば連立方程式として考えるのとどこも違いはないはずです。

ついでに
ｙ１＝ｘ^2＋ｋｘ＋１
ｙ２＝ｘ^2－ｘ－ｋ

ｘ^2の係数が同じですから
ｙ１を平行移動すればｙ２になります。
したがって2つの放物線は一致しているか、交点を持たないか、１点で交わっているかのどれかです。
（１）一致している場合、ｋ＝－１です。
この時　ｙ１＝ｙ２＝ｘ^2－ｘ＋１
ですが　ｙ１＝０は解を持ちません。
（２）交点を持たない場合、軸が共通です。この場合もｋ＝－１です。
（３）ｋ≠－１であれば、一点で交わっています。
　　　その交点はｙ１＝ｙ２より、ｘ＝－１です。
　　　この解がｙ１＝０　の解でもなければいけないということからｋが決まります。
　　　ｋ＝２です。

共通解の問題はこういう風に考えると違った見え方ができるかもしれませんね。
共通解の問題では初めにｙ１＝０、ｙ２＝０と2つの方程式が与えられますからいつでもｘ^2の前の係数は等しいとしてスタートできます。
場合分けは上の３つしかありません。

（＊）ｘ^2の前の係数が異なる形で2つの方程式が与えられている場合、そのままグラフに対応させると
交点が2つで共通解が1つという場合の吟味をしなければいけなくなります。ややこしいです。
初めに平行移動で考えることができるように式を変形しておく（ｘ^2の係数を等しくしておく）と共通解が1つの時は交点も1つですから吟味が簡単になります。

２つの式で吟味している回答と1つの式で吟味している回答の2つがあるというのはこういうところの混乱だろうと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なんかαとかの文字で置き換えるか置き換えないかは人それぞれみたいです。
でも、例えば
２つのニ次方程式が共通解をもつとき
１つはαとβ
もう１つはαとγ
というように値が違う場合があります。
これを、xはxでも、２つの解が同じとは限らないから、違うxだと考えてαと置き換えているみたいな事を聞いたのですが。

平行移動の考え方があったなんて全く思いつきませんでした。参考にします。

お礼日時：2010/08/06 20:37