この哲学的(?)問題について教えてください。
A君とB君がいる。2つの数の和がA君に、積がB君に伝えられた。
A君・俺は2つの数がいくつなのか知らん
B君・あなたが知らないってことは知っていました。僕もまだ2つの数がいくつか知りません。
A君・わかったぜ。今のお前の発言で2つの数がわかったぜ。
B君・僕もです。あなたがわかったと言ったので、2つの数がいくつかわかりました。
上記の問題はどういうことなのでしょうか?なぜ二人ともの数がわかったのでしょうか?
どなたかどうぞよろしくお願い致します。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
No.2です。
お礼拝見しました。>確かに2つの数について制限があれば、検討がつくのかもしれませんね。
>しかし、今回の場合はどうなんでしょうか。
>何の指定もない2つの数があって、その和と積が2人にそれぞれ伝えられて、簡単な会話で元の数を的中させるなんて可能なんでしょうか。
もちろんどんな数でもこういうやり取りが成立するというわけではないです。
元々この問題は、このような会話が成立するような1より大きい2つの整数の組は何かというのを求める問題で、その2つの組が例えば(4,13)とか(13,16)とか特定の組み合わせの場合には、A君とB君に2数の積と和がそれぞれ知らされるだけでこのような会話が成り立つといわれているようです。この場合のA君とB君の思考過程がどうなるかというのは先ほどの投稿で述べた通りです。
(先ほどの事例では(7,16)という例をあげましたが、これでは成立しないようです。失礼しました。私の記憶違いか…?)
さらに細かいことを言うと、この問題には暗黙の前提として、
・A君とB君は2人とも(私が先ほどの投稿で書いたような)数学的な思考を行う能力が十分ある
・A君とB君は2人ともこの会話の中で嘘を言わない
という条件が当然のように含まれます。
以上の条件の下で、本題の会話のみで元の数を的中させることは十分に「可能」なのですが、一見するととても可能には見えないのが“Impossible Puzzle”(不可能パズル) と呼ばれる所以です。
No.4
- 回答日時:
>何の指定もない2つの数があって、その和と積が2人にそれぞれ伝えられて、簡単な会話で元の数を的中させるなんて可能なんでしょうか。
不可能です。
論理的に考えてみましょう。
2つの数を実数します。
まず、2つの数の和を聞いただけでは、その和になる組み合わせは無数にあるので、2つの数は分かりませんね。
では、2つの数の積を聞いたときではどうでしょうか。
積が0の場合は、2つの一方が0だということが分かりますが、もう一方は分かりませんし、
積が0でない場合でも、その積になる組み合わせは無数にあるので、2つの数は分かりません。
それを前提にすれば、A君とB君の最初の発言の
「俺は2つの数がいくつなのか知らん」
「あなたが知らないってことは知っていました。僕もまだ2つの数がいくつか知りません。」
はあたりまえのことを言っているだけです。
つまり、この発言は何の情報も与えていないことになり、何も言っていないのと同じことです。
この状態で、A君が、
「わかったぜ。今のお前の発言で2つの数がわかったぜ。」
と言うことはありえません。
もし言ったとしたら、2つの数の和を聞いただけで分かったことになってしまいます。
結論としては、#2さんの回答のように、なんらかの条件があるはずです。
No.2
- 回答日時:
2つの数が1より大きい整数であり、A君に積が、B君に和が知らされたというバージョンなら知ってます。
A君に知らされた2数の積が112、B君に知らされた2数の和が23だったとします。
ここでB君が「あなたが知らないってことは知っていました」と言った理由ですが、まずB君は和が23であることを知って元の2数が2+21なのか、3+20なのか…と推理します。ここでB君は2数の両方とも素数である組み合わせはないことに気づきます。2数が両方とも素数であればA君が聞いたその積は一意に2個の素因数に分解できて2数が即座に分かるはずですが、その組み合わせになる可能性がないことからB君はA君が2数の積から2数を知りえないと判断して「あなたが知らないってことは知っていました」という発言につながるわけです。
一方、A君は2数の積112を知って、元の2数が2×56なのか、4×28なのか…と推理します。ここにB君の「あなたが知らないってことは知っていました」という発言を聞いて考えます。上記のB君の考え方も推理して2数の和から2数に分けるときに素数同士の組み合わせになる可能性がないことを突き止めます。すると、その条件に合致するのは2×56、4×28、7×16、8×14のうち7×16の組み合わせしかないことに気づきます。そこで「今のお前の発言で2つの数がわかったぜ」という発言につながります。
さらにこれを聞いたB君は、和が23になることを知っているので、和が23になる2数の組み合わせ(2,21),(3,20)…などからその積42,60,…を導き出し、そのそれぞれについてA君が2数の組み合わせを一意に導き出せる可能性を検討し、最終的にその組み合わせが(7,16)のみであることを導き出して「あなたがわかったと言ったので、2つの数がいくつかわかりました」という発言につながります。
“Impossible Puzzle”などの名前で知られており、Hans Freudenthal というオランダの数学者が Nieuw Archief Voor Wiskunde という雑誌に寄稿した論文が元ネタなんだそうです。
丁寧なお答え、どうもありがとうございます。
確かに2つの数について制限があれば、検討がつくのかもしれませんね。
しかし、今回の場合はどうなんでしょうか。
何の指定もない2つの数があって、その和と積が2人にそれぞれ伝えられて、簡単な会話で元の数を的中させるなんて可能なんでしょうか。
最初2つとも0なのではとも思いましたが、何だかよくわからないので。
No.1
- 回答日時:
「情報がないこと」が情報になるというパターンですね。
明示されていませんが、あらかじめA君B君は2つの数字についてなんらかの情報を持っていて「相手が回答できない」ということが情報となり回答がわかるというものです。たしかTRICKにもこのネタがありました。以下のURLにある例もこのパターンです。
http://blogs.yahoo.co.jp/kidake2008/15742332.html
回答ありがとうございます。
もう少しお尋ねしたいのですが、具体的な2つの数はいくつになるのでしょうか?
和と積だけしか情報がないのですが、どうやら具体的な数字がわかるらしいのです。
よろしければ、お知恵をお貸しください。
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