ばねとダンパーのついた物体の振動

画像につけたような、ばね定数Ｋ、減衰係数Ｃ、質量Ｍの状態で振動の基礎が

y=Ysinωt

で揺れた場合の質点の最大変位をＸとして

|X|/|Y|を求めよ。

という問題です。

正直、あまり基礎がわかってないので（高校で物理をやってないもので泣）

大変困っています。

誰か、解説お願いします！

※添付画像が削除されました。

No.1 回答者： mocomu 回答日時： 2011/02/05 18:45

物体が座標方向に＋ｘだけ進んでる状態を考えると

ばね＆ダンパーにかかる力は↓向きで、ばねの場合は伸びに比例、ダンパーの場合は伸びの１階微分に比例するので

運動方程式は
ｍｘ”＝－ｋｘ－ｃｘ’

⇔ｍｘ”＋ｃｘ’＋ｋｘ＝０　となります。

この右辺の部分に強制動揺力の項が入ってくるので、今は、・・・＝Ysinωt
となります。

この微分方程式を解いて、解ｘの最大値を求めていけばよいと思います。


解き方は、まず右辺を０とした場合の同次解を求め、次に右辺をYsinωtとした場合の特解を求め、
それらを足したものが答えです。

同次解ではｘ＝Ce＾λｔとおいて代入、特解ではｘ＝Xsinωtとおいて代入していけばそれぞれ未知数がわかるので解けると思います。

この回答への補足

返答いただきありがとうございます！
ただ、演算子法を使って解くことはわかったのですが、ｘ=Ce^λtのCや
ｘ＝ＸsinωtのＸはどうやって求めたらいいですか？
あと、このＣは減衰係数のＣなんですか？

まだ理解に達していなくて申し訳ないですが、そのあたりを説明していただけると幸いです。

お願いします。

補足日時：2011/02/06 04:23

No.2 ベストアンサー 回答者： mocomu 回答日時： 2011/02/06 19:37

No.1です。

最後にCと大文字で書いたのは減衰係数ではなく、定数の意味で書きました^^;ややこしかったですね。
あと、ｘ＝Xsinωtとおくと書きましたが、答え（応答）の振動はcosかもしれませんので
ｘ＝X1sinωt＋X2cosωt　とおかなければなりませんでした＞＜これも間違ってましたすみません・・・

定数は初期条件から求められます。なので、t=0の始めの状態で、変位０、速度０などの条件を設定してあげれば求められると思います。↓↓順序です

まず同次解ですが、適当に定数をCと書きましたが、λは２つ出てきますよね!?なので実際は
同次解x＝C1exp( )+C2exp( )　みたいな形になるはずです。このときのC1とC2はひとまず置いておきます。

次に特解ですが、運動方程式に代入すると左辺はsinやcosが混じった式、右辺は強制力のsin項となりますね。ここで左辺をsinのみの項とcosのみの項に分けて、右辺と係数比較します。
すると式は２つ出てきますから、未知数X1とX2は求まります。

求める解はｘ＝同次解＋特解　であり、まだ同次解には未知数が２つ残された状態ですね。
ここで初期条件を考慮します。

変位と速度でｘとｘ’を出す必要があるので、頑張ってガリガリ微分してください。
それからt=0で変位速度ともに0としてやれば、式は２つできるので未知数２つは求められます。

完成です！

この回答へのお礼

なるほど！ありがとうございました。

微分大変そうですが、やってみます。

お礼日時：2011/02/06 23:29