No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#2への「お礼」に対して
m w’= -q w×B
で B = (B, 0, 0) なら
m wx' = 0 (1)
m wy' = -q wz B (2)
m wz' = +q wy B (3)
です。
(1)より
wx = c1。
積分定数 c1 は初期値ですが、この問題では初期条件は特に与えられていませんから、c1 = 0 と限定することはできません。
ω = q B / m (4)
とすると、(2),(3)より
wy'' = -ω wz' = -ω^2 wy。
これより
wy = c2 cos(ω t + φ)。 (5)
積分定数 c2 と φ は初期条件で決まりますが、今の問題では初期条件は特に与えられていませんから、c2 と φ を特定の値に限ることはできません。
(3),(4),(5)より
wz' = ω wy = c2 ω cos(ω t + φ)。
これより
wz = c2 sin(ω t + φ) + c3。 (c3 は積分定数)
(2)を満たすためには
c3 = 0。
∴ wz = c2 sin(ω t + φ)。 (6)
ここの sin は cos に直さない方が、(5)と合わせて円運動であることがわかりやすいと思います。
なお、「円運動」の向心力は(2),(3)に現れているローレンツ力です(「お礼」の a0 ではありません)。
No.2
- 回答日時:
#1の
>(B~・u~ = 0 は u~ の B~ 方向の成分が 0 ということですが、上で見たように v~ の B~ 方向の成分は一定なので、それは w~ の初期値として扱えばよいのです。)
の部分は誤解を招くかもしれませんので、次のように訂正します。
(B~・u~ = 0 は定ベクトル u~ の B~ 方向の成分が 0 ということですが、上で見たように v~ と w~ の B~ 方向の成分は一定なので、v~ の B~ 方向の成分は w~ の成分として扱えばよいのです。)
ありがとうございます。
ベクトル記号を省略して書きますと、
m w’= -q(E + u×B + w×B)
= -q w×B
Bの方向をx軸、Eの方向(高さ方向)をz軸として、x,y,z成分に分けると、
m wx’= 0
m wy’= -qwy |B| ・・・ 手前方向(Bに垂直な方向には円運動)
m wz’= -qwz |B|
これを解いて、
wx=定数1
wy=定数2 cos(q|B| t/m+定数3)
wz=定数2 cos(q|B| t/m+定数3 + π/2)
となると思いますが、
初期条件が、よくわかりません。
wx=0 ・・・ Bの方向
wy0=uy=|E|/|B| (E にも B にも垂直)
wz0=0 (初期の加速度a0=qE/m)
で、いいでしょうか?
また、上記 a0が円運動の向心力になるのでしょうか?
No.1
- 回答日時:
電場を E~ ベクトル、磁場を B~ ベクトル、電子の電荷を -e、質量を m、速度を v~ ベクトルとします。
時間微分を「'」で表すと、運動方程式はm v~' = -e (E~ + v~×B~)。 (1)
いまは E~ ⊥ B~ なので、v~ の B~ に平行な成分は一定であることがわかります。
E~ + u~×B~ = 0 (2)
を満たす定ベクトル u~ を用いて
v~ = u~ + w~ (3)
とすると、(1)は
m w~' = -e (E~ + u~×B~ + w~×B~)
= -e w~×B~ (4)
となります。よく知られているように、これは B~ のまわりのらせん運動(つまり B~ に平行な方向には等速運動であり、B~ に垂直な方向には円運動)を表します。
u~ を求めます。(2)から
0 = B~×(E~ + u~×B~)
= B~×E~ + B~×(u~×B~)
= B~×E~ + B^2 u~ - (B~・u~)B~ (5)
u~ は(2)を満たせばよいので、
B~・u~ = 0
としても一般性は失われません。
(B~・u~ = 0 は u~ の B~ 方向の成分が 0 ということですが、上で見たように v~ の B~ 方向の成分は一定なので、それは w~ の初期値として扱えばよいのです。)
よって(5)から
u~ = E~×B~/B^2。 (6)
これは、E~ にも B~ にも垂直な方向の運動です。
(u~ はドリフト速度と呼ばれます。粒子の電荷にも質量にも依存しないという特徴を持ちます。)
結局、電子は、(6)で表される速度のドリフト運動と(4)で表されるらせん運動を重ね合わせた運動をすることになります。
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