カルタン部分代数の定義に関する質問

＜カルタン部分代数の定義＞半単純リー代数gに対して、カルタン部分代数hとは、
(1)　任意のH∈hに対して、ad(H)∈gl(g)は対角化可能である
(2)　hは極大可換部分代数である
について、定義の内容はわかるのですが、”(1)の条件をもつ部分リー代数hは、可換となる”(らしい？)ことがわかりません。もしよろしければお教え頂けないでしょうか？
(※ad(X)(Y)＝[X,Y]　([X,Y]はブラケット積)と定める)

No.1 回答者： d_p 回答日時： 2011/03/10 16:12

対角化できるなら、可換に決まってるじゃん。

No.2 ベストアンサー 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2011/03/11 17:28

有限次元で複素数体上の話と仮定していいですよね？トレースの定義などがあるので以下そのように仮定して話を進めます。

問題は自明ではないですが線形空間を固有空間に分解すると上手く示せます。
証明は大体次のようになります。

まずhが可換ではない、すなわちある元I,H∈hが存在して[I,H]≠0とします。対角化可能という条件からhはad(H)の固有空間の直和で表されます。Iをその固有空間の和に分解すると仮定から0でないある固有値λに対応する成分は消えません。それをI_λとします。取り方から

ad(H) (I_λ) = [H,I_λ] = λI_λ --------------(1)

です。
次にI_λも対角化可能ですからI_λに関してhを固有分解出来ます。その各々の固有値kに対応する固有空間をh(I_λ;μ)とします。
まず交換子の定義より

I_λ ∈ h(I_λ;0)　 -----------(2)

です。Hをh(I_λ;μ)に関して固有分解したものをH=Σ_μ H_μ, H_μ∈h(I_λ;μ)としたとき、

ad(I_λ) (H) = Σ_μ μH_μ ----------(3)

となります。(1)と(3)から

Σ_μ μH_μ = -λI_λ

であり、(2)によってΣ_μ μH_μ ∈ h(I_λ;0)が分かります。固有分解は直和ですから0以外のμに対してH_μ=0であり結局I_λ=0でなければなりません。これは矛盾です。

この回答へのお礼

大変丁寧にお教え頂き、有り難うございました。
自分でも、行間を埋めながら、もう一度考えてみたいと思います。
本当に有り難うございました。

お礼日時：2011/03/16 11:51