A 回答 (2件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.2
- 回答日時:
放物線の焦点をF,Fを通る弦と放物線の交点をそれぞれP,Qとして,
PからLへの垂線の足をP',QからLへの垂線の足をQ',
さらに,PQの中点をM(これが「円の中心」),MからLへの垂線の足をM'とする.
このとき,
QM=PM=MM'=(PP'+QQ')/2=PQ/2
が成り立つことを示せば十分.
で,これの証明なんだけども
台形PP'Q'QとMM'に対して,対角線PP'を引くことで
三角形の中点連結定理を使えばおしまい.
放物線の定義を念頭において絵を描けば
中学校の幾何の問題です.
計算不要です.
No.1
- 回答日時:
放物線上の点を P(x, y)、焦点を F(0, a)、準線の式を y = -a とすると,Pから焦点までの距離と、Pから準線までの距離は等しいので
y+a=√(x^2+(a-y)^2)
x^2=4ay
というのが放物線の式です。
参考:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BE%E7%89%A9% …
一方、焦点(0,a)を通る直線はy=αx+a と表すことができ、これと放物線の交点を求めるために
y=αx+a をx^2=4ay に代入すると
x^2=4a(αx+a)
x^2-4aαx-4a^2=0
x=(4aα±√(16a^2α^2+16a^2)/2
これをy=αx+aに代入すると
y=(4aα^2±α√(16a^2α^2+16a^2)/2+a
という二点が求められます。これが弦の両端になります。この二点の中点の座標は(2aα、2aα^2+a)で与えられ、これが問題文中の円の中心になります。この点から準線までの距離は2aα^2+2aです。・・・(1)
一方、弦の中点から両端までの距離の二乗は
(√(16a^2α^2+16a^2)/2)^2+(α√(16a^2α^2+16a^2)/2)^2
=(16a^2α^2+16a^2+16a^2α^4+16a^2α^2)/4
=4a^2α^4+8a^2α^2+4a^2
=(2aα^2+2a)^2
なので、弦の中点から準線までの距離=弦の中点から両端までの距離 となり、弦の中点を中心とする円は準線に接することが判ります。
放物線の頂点が原点である場合しか考えていませんが、この放物線を平行移動した場合焦点と準線も同じように平行移動するので相互の位置関係は変わらず、上記の関係が成り立ちます。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 焦点のx座標が3、準線が直線x=5で、点(3.1)を通る放物線の方程式を求めよという問題について質問 4 2023/07/14 00:13
- 数学 微分について教えてください 放物線y=x^2のx=1における微分係数を定義に従って求め、その点におけ 5 2023/04/16 15:38
- 数学 【 数I 放物線と直線の共有点 】 問題 放物線y=x²+ax+bが点(1,1)を通り, 直線y=2 4 2022/07/18 09:57
- その他(自然科学) 電磁波の周波数と熱について教えて下さい。 電磁波の波長とエネルギーについて、雑学として興味があります 6 2022/04/18 20:00
- 数学 放物線と円の接点についてです。96(1)の、[1]で重解だと接することがよくわかりません。 xの2次 4 2022/12/24 17:59
- 数学 数学 2次関数 1 2023/05/10 21:45
- 物理学 蓄光のメカニズムについて 熱放射と違いがあるのか お世話になります。 蓄光のメカニズムについてご教授 2 2022/03/29 13:14
- 数学 数学の問題で法線ベクトルについて 5 2022/11/13 12:45
- 数学 数学ベクトルに関しての質問 3 2022/05/25 23:21
- 数学 AB=2,BC=3,∠ABC=60°の三角形がある。 点Aから辺BCに垂線を下ろし辺BCとの交点をD 4 2023/02/02 15:55
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
楕円の分割
-
【至急】困ってます! 【1】1、...
-
mathematicaの軸の太さの変更に...
-
代数の関数に関する問題の解き...
-
高校2次関数グラフ
-
楕円の焦点,中心を作図で求め...
-
軌跡について
-
双曲線の焦点を求める時はなぜ√...
-
双曲線の概形の書き方
-
放物線y=x^2+a と円x^2+y^2=9に...
-
放物線とx軸に接する円の中心...
-
2つの楕円の交点の求め方が分...
-
3点を通る放物線の求め方を教...
-
tの値が変化するとき、放物線y=...
-
至急!y=2X^2を変形(平方完成)...
-
放物線に何本の「法線」が引け...
-
放物線の方程式のbの値はグラフ...
-
放物線の対称移動の問題の答え...
-
2:1正楕円とは何ですか?
-
y=ax^2+bx+cのbは何を表してい...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
楕円の書き方
-
数学の問題です。 実数x、yが、...
-
高校数学の問題です。
-
楕円の焦点,中心を作図で求め...
-
2:1正楕円とは何ですか?
-
至急!y=2X^2を変形(平方完成)...
-
【至急】困ってます! 【1】1、...
-
y=ax^2+bx+cのbは何を表してい...
-
二次関数の問題です。放物線がx...
-
双曲線の焦点を求める時はなぜ√...
-
tの値が変化するとき、放物線y=...
-
高校2次関数グラフ
-
回転放物面 z=x^2+y^2 の面積...
-
軌跡の「逆に」の必要性につい...
-
数学における「一般に」とは何...
-
2つの楕円の交点の求め方が分...
-
楕円の分割
-
楕円についてです ①教科書の楕...
-
日常生活で放物線や双曲線の例...
-
放物線y=2x² を平行移動した曲...
おすすめ情報