三角形の面積

図のような平行四辺形ＡＢＣＤにおいて三角形ＥＢＣの面積が２７
三角形ＣＤＦの面積が２４のとき、ＡＦ：ＦＤを求めよという問題がありました。

答えよりも、その途中経過でわからないことがありました。

回答では、三角形ＡＢＥ＝三角形ＦＣＥ・・・(1)
ということと三角形ＡＢＣ＝三角形ＢＣＦ・・・(2)
ということ利用して求めてたのですが、
なんで、三角形ＡＢＥ＝三角形ＦＣＥなんでしょう？？？

三角形ＡＢＣ＝三角形ＢＣＦなのもなぜかわかりません。
こちらは、面積が等しいことはわかるのですが・・・

初歩的なことでもうしわけないのですが、ご助言のほどお願いいたします。

No.4 ベストアンサー 回答者： KEIS050162 回答日時： 2011/09/14 12:28

三角形ＡＢＥ＝三角形ＦＣＥ　も　三角形ＡＢＣ＝三角形ＢＣＦ　も合同ということではなく、面積が等しい（質問者さんの理解で正しい）と思います。

この条件だけで、この問題は解けます。

△EBCの面積は、　平行四辺形の面積の半分　から　△ABEの面積を引いたもの。
一方、△CDFの面積は、　並行四辺形の面積の半分　から　△ACFの面積を引いたもの。

なので、△ABEの面積と△FCEの面積が同じことから、差の３は、△AEFの面積だということが分かります。

後は、△EBCと△AEFが相似であること（これは質問者さんならきっと簡単に分かりますよね）から、比が求められます。

ご参考に。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
その後の解答までご助言、感謝します☆

＞これは質問者さんならきっと簡単に分かりますよね
この言葉のおかげでやる気がでました☆
なんだか、こういう一言があるととても
うれしいですね。ありがとうございます。

お礼日時：2011/09/14 12:55

No.9 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/09/14 12:52

何度もすみません。

もう一つ。

＞回答では、三角形ＡＢＥ＝三角形ＦＣＥ・・・(1)
＞ということと三角形ＡＢＣ＝三角形ＢＣＦ・・・(2)
＞ということ利用して求めてたのですが、

本当にこの順ですか？
普通は、三角形ＡＢＣ＝三角形ＢＣＦ　から
三角形ＡＢＣ－三角形ＢＣＥ＝三角形ＢＣＦ－三角形ＢＣＥ
三角形ＡＢＥ＝三角形ＦＣＥ
という順で解いていくものだと思いますが・・・

この回答へのお礼

何度もありがとうございます。
解答よりも
三角形ＡＢＥ＝三角形ＦＣＥ・・・(1)
ということと三角形ＡＢＣ＝三角形ＢＣＦ
がわからなかったのですが、
みなさまのご助言で無事解決しましたので
大丈夫です。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/09/14 12:58

No.8 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/09/14 12:49

もう解決しているようですが、気になったので。

＞三角形ＡＢＣ＝三角形ＢＣＦなのもなぜかわかりません。
＞こちらは、面積が等しいことはわかるのですが・・・

ん？？？
三角形ＡＢＣ＝三角形ＢＣＦ
この式は、
三角形ＡＢＣの形＝三角形ＢＣＦの形
という意味ではなく、
三角形ＡＢＣの面積＝三角形ＢＣＦの面積
という意味ですよ。
「面積が等しいことはわかる」ということは「三角形ＡＢＣ＝三角形ＢＣＦ」がわかるということですよ。

この回答へのお礼

合同条件の記号と勘違いしていたようなんです。
とてもおばかですよね。。。。お恥ずかしい。。。

お礼日時：2011/09/14 12:50

No.7 回答者： eco1900 回答日時： 2011/09/14 12:35

こんにちは。

△ABE＝△ABC－△EBC
△FCE＝△BCF－△EBC

だからですよ^^。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
おかげで理解できました☆

お礼日時：2011/09/14 12:52

No.6 回答者： na_ta_de_co_co 回答日時： 2011/09/14 12:30

まず平行四辺形ABCDと書いてあるので、ADとBCは平行です。

なので三角形ABFと三角形ACFの面積は同じです。

同じ面積から共通の面積、三角形AEFの面積を引くので、

三角形ABE＝三角形FCECF、になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
そういうことだったんですね。
ようやく理解できました。

お礼日時：2011/09/14 12:52

No.5 回答者： dddmmgrru 回答日時： 2011/09/14 12:29

えっと、まず△ABE=△FCEから。

四角形ABCDは平行四辺形ですから、AD//BCです。
これはADとBCの距離がどこでも等しいということです。(1)

で、△ABFと△FCAを考えると、AF=FA(共通)で高さが等しい(1)ので
底辺と高さの等しい三角形の面積は等しい。よって、
△ABF=△FCA
ここで、
△ABE=△ABF－△AEF
△FCE=△FCA－△AEF
よって、△ABE=△FCAとなります。

また、△ABCと△BCFも同様に、BCは共通で高さが等しい三角形ですから
△ABC=△BCF
となります。

底辺と高さの等しい三角形の面積が等しいことは、面積を求める式が
(底辺)×(高さ)÷２
で求められることによります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
しかもそのほかのことまで教えていただきありがとうございました。
とても分かりやすいです。

お礼日時：2011/09/14 12:52

No.3 回答者： COCKROACH-S 回答日時： 2011/09/14 12:23

△ABFと△FCAは底辺共通で高さ同じなので

△ABF=△FCAになります
また△ABE=△ABF-△AEF
△FCE=△FCA-△AEF
より
△ABFと△FCEは等しい

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なりほど。そういうことだったんですね。
理解できました☆

お礼日時：2011/09/14 12:44

No.2 回答者： DJ-Potato 回答日時： 2011/09/14 12:21

≡　じゃなくて　＝　でつないでいるのですから、単に面積が等しい、と言っているんだと思います。

△ABCと△FBCは底辺が共通で高さが同じだから面積は等しい
△ABEと△FCEは、それぞれ△ABCと△FBCから共通部分を除いたものだから、面積は等しい

この回答へのお礼

あああ！！！ご指摘の通りです・・・・合同と勘違いしてました。
面積があくまで等しいってことですね。ありがとうございました。

お礼日時：2011/09/14 12:42

No.1 回答者： yukaru 回答日時： 2011/09/14 12:17

＞三角形ＡＢＣ＝三角形ＢＣＦなのもなぜかわかりません。

＞こちらは、面積が等しいことはわかるのですが・・・
面積が等しいことを三角形ＡＢＣ＝三角形ＢＣＦと表記します

なので三角形ＡＢＥ＝三角形ＦＣＥも一目瞭然ということ

この回答へのお礼

合同の表記と混同していました。。。。お恥ずかしいです。。。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/09/14 12:43