すみません、数Iの知識がほとんどありません。
以下の問題の解き方を教えてください。
xの方程式 2sin二乗x-(2a+1)sinx+a=0・・・(1)(ただし、a:定数、0度≦x≦180度)
の相異なる実数解の個数が、
i)2個の時
ii)3個の時
iii)4個の時
における、それぞれの定数aの条件を求めよ。
※sinxが、1/2、aになるまでは分かったのですが、そのあとが分かりません。
aを0と1の間で、場合分けして回答するようなのですが、その意味も分かりません。
この問題は、いったい何を聞いているのでしょうか。
もしできましたら、解法とともに参考となるHPアドレスなどもお教えいただけたら嬉しいです。
どうぞよろしくお願いいたします。
A 回答 (3件)
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No.1
- 回答日時:
sinx=1/2を満たすxは二個ありますので、
(1)実数解が2個の場合
sinx=aを満たすxがsinx=1/2をも満たすということです。このときa=1/2です。
(2)実数解が3個の場合
aは1/2ではなく、sinx=aを満たすxが一つしかないということです。このときa=1で す。
(3)実数解が4個の場合
aは1/2ではなく、sinx=aを満たすxが二つあるということです。上記の二つを除いた場合 にこうなります。
回答いただきありがとうございました。
少し質問させていただいてよろしいですか?
回答中の
(1)実数解が2個の場合
sinx=aを満たすxがsinx=1/2をも満たすということです。このときa=1/2です。
と書いていただいたのは、sinxで1/2の時に、2つすでに解があるので、もうほかには解はない→=a
=1/2ということになりますか?
また、解が3個というのは、sinxで答えが90度になるとき→1なのでa=1になりますか?
No.2
- 回答日時:
2・(sinx)^2 - (2a + 1)・sinx + a = 0
(sinx)^2 - (a + 1/2)・sinx + a/2 = 0
(sinx - a)(sinx - 1/2) = 0
sinx = a または 1/2
sinx = 1/2の時 0° ≦ x ≦ 180°の範囲内では
x = 30° または150°
※この2つの実数解は固定
sinx = aの時
a < 0 の時 sinx = aを満たすxはない
a = 0 の時 sinx = 0°または180°
0 < a < 1 の時 sinx =aを満たす解は、0°~90°と90°~180°に1つずつ
a = 1 の時 sinx = 90°
a > 1 の時 sinx = aを満たすxはない
∴
i) a < 0 または a > 1
ii) a = 1
iii) 0 ≦ a < 1
こんなに早く、ご回答いただきありがとうございます。
すみません、お礼とともに追加でご質問させていただいてもよろしいでしょうか。
xが、30度または150度までは分かったのですが、これ以外に解があるというのが、
今一つよく分かりません(すみません)。
aとは、いったい何を表していて、解とどういう関係にあるのでしょうか。
No.3
- 回答日時:
2(sin(x))^2 -(2a+1)sin(x)+a=0
2(sin(x)-a)(sin(x)-(1/2))=0
sin(x)=a,sin(x)=1/2
(1)sin(x)=1/2 (0<=x<=180°)から x=30°,x=150°(2個)…(★)
(2)sin(x)=a (0<=x<=180°)から
a>1の時 解なし
a=1の時 x=90°(1個)
1/2<a<1の時 30°<=x<=150°の範囲にxは2個。
a=1/2の時 x=30°,x=150°(2個)…(★)と一致。
0≦a<1/2の時 0°≦x<30°に1個、150°<x≦180°に1個 (2個)
a<0の時 0個
(1),(2)をまとめると
解の個数条件は以下の通り。
i)2個の時 a<0, a=1/2, a>1
ii)3個の時 a=1
iii)4個の時 0≦a<1/2, 1/2<a<1
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