背理法について

背理法を用いて、次の命題が真であることに示す場合

命題　√3は無理数である


√3が有理数であると仮定すると
√3=a/b
(a,bはお互いに素な整数）よってa=√3b
a＾2=3b＾2

の後がよくわかりません。

お願いします

No.5 回答者： kony0 回答日時： 2003/11/28 23:49

「ａは３の倍数である」という日本語の文章を、数式という言葉に“翻訳”すると、「ａ＝３×（整数）」ということになります。

この整数というのを、適当に文字で置いた。

・・・というわけです。

No.4 回答者： Largo_sp 回答日時： 2003/11/27 18:09

a＝3mとなるm（整数）が存在します。

が判らないですか？？
皆さんの説明でわからないとなると……
どの当たりで判らないのでしょう……
もういちど順番に説明してみます。

aとbは整数ですよね、最初にそう決めましたから。
a^2=3b^2 という条件から、
a^2は３の倍数ですよね
a^2が３の倍数であるためには、a^2の素因数分解に
３が含まれないといけないですよねしかも二乗だから２つ
ということは、aだけになったときにも３は含まれていますよね
だから、mを別の整数とした時
a=3mを満たすmが存在するはずですよね……

元の式に代入して
a^2 = 3b^2 = 9m^2
同様にして…… b^2=3m^2 より b=3nが存在します

a=3m b=3nで、共通因子3を持つことになって
互いに素……同じ素因数をもたない(約分できない)
に反しますよね……

どこがわかりませんか?

No.3 回答者： noname#5188 回答日時： 2003/11/27 04:39

a＾2=3b＾2

を満たす互いに疎な整数a,bって存在しますか？
（a＾2-3b＾2=0を解いてみたらわかると思います。）

存在しないので、「a,bはお互いに素な整数」とした
ことに矛盾してますよね。＝√3を有理数としたとが
間違いで、√3は無理数であることが証明できます。

この回答への補足

ありがとうございます。
あの。a＝3mとなるm（整数）が存在します。
の意味がわからないのでお願いします

補足日時：2003/11/27 07:46

No.2 回答者： yuusukekyouju 回答日時： 2003/11/25 20:50

>(a,bはお互いに素な整数）よってa=√3b

>a＾2=3b＾2

a^2は3の倍数であることがわかります。
このときaは3の倍数でなくてはならないので
a＝3mとなるm（整数）が存在します。
a＝3mをa＾2=3b＾2に代入すると
9m＾2＝3b＾2となり
b＾2＝3m＾2となります。

ここからは、上記の繰り返しです。
b^2は3の倍数であることがわかります。
このときbは3の倍数でなくてはならないので
b＝3nとなるｎ（整数）が存在します。

つまり
a/b＝3m/3nとなり
これは3で約分できます。
この3で約分できるということが
＞a,bはお互いに素な整数
と矛盾します。

以上が背理法の証明です。

この回答への補足

>a＝3mとなるm（整数）が存在します。
の意味がわからないのでお願いします。

補足日時：2003/11/26 18:45

No.1 回答者： mokkoman 回答日時： 2003/11/25 19:30

反例を示してやればよいのです。

a=2のときb=2/√3となりbが整数であることに反する。
したがって命題は示された。
納得されたでしょうか？

この回答へのお礼

よくわかりません。
もうすこし、具体的に教えてもらってもいいですか？

お礼日時：2003/11/25 19:33