数学の問題

点P(p,q)から放物線y=x^2に引いた2本の接線が直交しているとき、点Pの軌跡を求めよ。


という問題がわかりません。
誰か教えてください!!

No.2 回答者： asuncion 回答日時： 2012/04/21 20:28

y=f(x)=x^2

f'(x)=2x …… (1)
放物線上の接点A(a,f(a))=(a,a^2)とおくと、
接線の傾きmは、(1)よりm=f'(a)=2a
点Aにおける接線は、A(a,a^2)を通り傾き2aの直線
y-a^2=2a(x-a)
y=2ax-a^2 …… (2)
(2)は点P(p,q)を通るので、
q=2ap-a^2 …… (3)
(3)をaに関する2次方程式として解く
a^2-2pa+q=0
a=p±√(p^2-q)
a=p+√(p^2-q),p-√(p^2-q)
点Pを通る接線の傾きは、2(p+√(p^2-q)),2(p-√(p^2-q))
2つの接線が直交するので、2(p+√(p^2-q))・2(p-√(p^2-q))=-1
4(p^2-(p^2-q))=-1
4q=-1
q=-1/4
∴点Pの軌跡は、(0,-1/4)を通り、x軸に平行な直線

正解かどうかはわかりません。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2012/04/21 20:16

2本の接線の接点を(α、α^2）、（β、β^2)とすると

接線の傾きは各々2α、2β、方程式は

y-α^2=2α(x-α) (1)

y-β^2=2β(x-β)　　(2)

この2本の接線が直行するために傾きの積が-1、すなわち

2α×2β＝-1

つまり

αβ＝-1/4 (3)

この2本の接線の交点が(p,q)、すなわち(1)、(2)を連立して解いてその解が(p,q)

(1)-(2)より

x=p=(α+β)/2　　(4)

y=q=αβ　　　　　(5)

(3)、(5)より

y=-1/4

が答え