数１ 円の性質

こんばんわ、まだ高２になってないのに学校では数２・ｂに入って焦ってます（汗

えっと今回アドバイスしてほしい問題は
　三角形ＡＢＣがあって、ＡＢ＝３、∠Ａ＝１２０°外接円の半径が７√３/３（３分の７ルート３）です。

１、辺のＢＣの長さ
２、辺ＡＣの長さ
３、三角形ＡＢＣの内接円の半径、また内接円の中心をＩ　　とするとき、線分ＡＩの長さ

１は正弦定理を使うと思うんですが、答えは7と思うんですが・・・・。
２、１の「７」を代入すると思うんですが、どうしてもルートが邪魔で因数分解できないです・・・。

アドバイスお願いします・・ｍ（＿）ｍ

No.1 回答者： bruce1104 回答日時： 2004/01/15 22:19

こんばんわ

AC＝７でOKだとおもいます。
ACは余弦定理でいけます。
[BC^2=AB^2+AC^2-2×AB×AC×cos120]
↑にあてはめるとAC=5,-8 AC>0よりAC=5となります。

(3)のない内接円の半径は
内接円の半径をrとし
まず△ABCの面積をもとめます。
[1/2×AB×AC×sin120]
↑にあてはめると面積は　15√3/4(4分の15ルート3)です。

そこから半径rをもとめます
[AB×r×1/2+AC×r×1/2+BC×r×1/2=15√3/4]
↑にあてはめると、√3/2(2分の√3)TO
でると思います。

No.2 回答者： ONEONE 回答日時： 2004/01/15 22:33

１、7でＯＫです。

２、三角形の二辺と１角がわかっているので余弦定理を使います。
ちなみにルートは出てきません。cos120°= -1/2
３、内接円とAB, BC, CAの接点をP, Q, Rとします。
AP = xとおくと円の外部の点から、その点を通る二つの円の接線の、接点までの距離は等しいから
BC = BQ + QC = PB + CR なので
AP = 2
また△ABC = △AIB + △BIC + △CIAなので
(1/2)3*8*sin120°= (1/2)(3 + 7 + 8)r 　(rは内接円の半径)
△AIPに三平方の定理を用いてAIがでます。

No.3 回答者： primary5869 回答日時： 2004/01/15 22:43

　a　 　b　 　c　

------ = ------ = ------ = 2R
SinA　 SinB　 SinC　

a*2 7√3 7√3*√3*2
---=2*----- a=----------=7
√3 3 3*2

a=7 b=? c=3

3 9*√3 3√3
SinC=------*3 =-------- = -------
2*7√3 14*3 14


Sin(A+C)=SinB=SinA*CosC-CosA*SinC ?

√3 13 1 3√3 5√3
SinB=-----*---- - ---*------- =--------
2 14 2 14 14


5√3 7*√3
b=SinB*2R=------ * 2*------- = 5
14 3

No.4 回答者： primary5869 回答日時： 2004/01/15 22:56

7+5+3 1 1 √3 15√3 15

面積=------------* r =--- * SinA *bc = --- * ---- * 5 *3 =--------- =---- * r
2 2 2 2 4 2

√3
r=-----
2

No.5 回答者： gogokurono2003 回答日時： 2004/01/16 03:50

回答の方は出そろってますね＾＾；

最初の方の文で一言。
数２Ｂはある程度のレベルの学校であればだいたいが１年生の３学期からやります。というか変な進み方をしている学校は、
数１の三角関数が終わったらまだ一年の１学期だけど数２の三角関数をやる
みたいな進み方をしているところもあります。
難しいかもですががんばってね＾＾

No.6 ベストアンサー 回答者： Sage-y 回答日時： 2004/01/16 09:59

おはようございます。

早速回答していきたいと思います。

１．は７でいいですね。
２．別解いきます。でも余弦定理でできればOKでしょう。
大体でも図は書いていると思います。
　BAをAの方へのばし、Cからそれに向かって垂線を引きます。交点をDとでもしましょう。
ここで、ADの長さをxと置きます。
すると、三角形ACDは∠D=90゜、∠A=60゜の直角三角形なので、
　AC=2x,CD=√3x
と表せます。
次に三角形BCDをみると、これも∠D=90゜の直角三角形です。なので三平方の定理が利用できます。
　BC^2=BD^2+CD^2
　7^2=(x+3)^2+(√3x)^2
　49=x^2+6x+9+3x^2
これを整理して
　2x^2+3x-20=0
　(2x-5)(x+4)=0
　x=5/2,-4　　←解の公式を知っていればそれでもOK
ADは長さなので x>0
　x=5/2
　AC=2x=5
３．内接円の半径は√3/2でいいですね。
内接円とAB,BC,CAとの接点をそれぞれD,E,Fとする。
さらに内接円の中心からA,D,Fにそれぞれ線を引くと、合同な二つの直角三角形AID,AIFができる（∠ADI=∠AFI=90゜…?、AIは共通…?、DI,FIは内接円の半径だからDI=FI…?　???より直角三角形の斜辺と一辺がそれぞれ等しいので証明できる）ので
∠DAI=∠FAI=60゜
とわかり
AI=DI*2/√3=(√3)/2 *2/√3=1
となります。

図形らしい解き方してみました。
参考になればさいわいです。
がんばってください。