共役複素数

方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0は4つの虚数解を持つ
その解の内、ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5iである
このときa、b、c、dの値を求めよ



2つの解α、βを、
α=p+qi、β=r+si
とおくと、
共役複素数同士の和は実数だから
α+βか￢α+￢βが19+2i、残った方の積が4+5iなのはわかりましたがここからがわかりません
解き方を教えてください

No.6 ベストアンサー 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/06/25 23:03

>(x - s)(x - t)=x^2-(s+t)x+st

>で、このときs+tが19+2i(また、s~t~が4+5i)だとするとx^2 - (19+2i)x + (4-5i)になりますが、
>s~+t~が19+2iの場合はならないと思います

(お尋ねの主旨をつかめてませんが)
s~+t~ が 19+2i なら、st = 4+5i でしょうから、
　(x - s~)(x - t~) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i)
　(x - s)(x - t) = x^2 - (19-2i)x + (4+5i)
なのでしょうね。
右辺の積は、前と同じになりそう。
　　　

この回答へのお礼

全てわかりました
前の質問も含めてありがとうございました

お礼日時：2012/06/25 23:25

No.5 回答者： uyama33 回答日時： 2012/06/25 22:18

a、b、c、d

は、実数ですか？
それとも複素数ですか？

もし、実数なら、実数を係数とする方程式の解は
どんな性質を持ちますか？

教科書にちょっとだけ書いてあるか、
先生が話したか、
受験参考書には書いてあるはずです。

複素数の共役　のところを調べて下さい。

この回答への補足

すみません、実数です

共役複素数も解になると書いてあります
だから解をα、βとおくと共役複素数￢α、￢βも解になり、α+βか￢α+￢βが19+2iと選択肢が分かれてしまいますのでわからなくなってしまいました

補足日時：2012/06/25 22:40

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/06/25 22:15

>st=4-5i　s~t~=4+5i　のように2つの複素数の和や積は共役複素数の和や積の共役複素数になるのはなぜですか？

なぜ？と訊かれると答えに詰まりますが、試算で確かめられますよ。
　s = d + ei, t = f + gi とでもすれば、積の場合ならば、
　st = (df - eg) + (dg + ef)i
　s~t~ = (df - eg) - (dg + ef)i = (st)~


>(x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i)じゃないのを想定したものは考えなくていいんですか？

問題が言ってることをそのまま式にしたもの。
何か、見逃していそうですか？
　　　

この回答への補足

確かになりそうです ありがとうございました

(x - s)(x - t)=x^2-(s+t)x+st
で、このときs+tが19+2i(また、s~t~が4+5i)だとするとx^2 - (19+2i)x + (4-5i)になりますが、s~+t~が19+2iの場合はならないと思います

補足日時：2012/06/25 22:38

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/06/25 19:49

途中ですっぽかされたので、ストーキング。

　　(x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i)　　　　　…(1)
と想定した場合、
　　(x - s~)(x - t~) = x^2 - (19-2i)x + (4+5i)　　　　…(2)
だから、
(1) と (2) の右辺同士を掛けたものが答案。
　　　

この回答への補足

すみません、新たに意見を募りたいと思いまして

st=4-5i
s~t~=4+5i
のように2つの複素数の和や積は共役複素数の和や積の共役複素数になるのはなぜですか？
また、(x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i)じゃないのを想定したものは考えなくていいんですか？

補足日時：2012/06/25 20:19

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/06/25 19:05

「分かる方法がある」から書いてます.

ああ, 「『残った方』じゃない 2つの積」の代わりに「残った方の和」を求めてもいいね. 同じことだし.

この回答への補足

分かる方法はなんでしょうか？

補足日時：2012/06/25 19:25

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/06/25 18:16

「残った方」じゃない 2つの積はいくつ?

この回答への補足

わかりません
分かる方法があるのでしょうか？

補足日時：2012/06/25 18:54