音 物理

長くて申し訳ないのですが、以下の問題の解き方を教えてください

点Ｏを中心として等速円運動をしている音源があり、それを聞く人が点Ｐにいる
円の半径をr、OP間距離を2rとし、音源が1周する時間をT、音速をVとする
Ｐ点で最も高い音を聞いてから最も低い音を聞くまでの時間T1を求めよ
また、最も高い音を聞いてから音源と同じ高さの音を聞くまでの時間T2を求めよ


ちなみに最も高い音の位置をＡ、音源と同じ高さの音の位置をＢ、最も低い音の位置をＣとすると図は
　　　　　　↓Ｃ
　　　　／￣＼　　　
　 Ｂ→｜Ｏ．｜←Ｂ　Ｐ．
　　　　＼＿／
　　　　　　↑Ａ

No.2 ベストアンサー 回答者： Quarks 回答日時： 2012/08/04 21:22

ドップラー効果は、「音源→観察者」方向の音源の速度が問題になります。

この速度が正の最大値になるときに発した音は、最も高い音として観察され
負の最大値になるときに発した音は、最も低い音として観察されます。
　
音源の、音源→Ｐに向かう方向の速さが最大の時(添付図のＡ）の場所で発した音が、Ｐでは最も高い音として、Ｐ→音源方向の速さが最大の時(添付図のＣ)の場所で発した音が、Ｐでは最も低い音として観察されます。
ちなみに、Ｂを通過するとき(音源と観測者の距離が変化しない位置なので)、ここで発した音は、通常の高さの音として観察されます。
　
△ＯＣＰ、△ＯＡＰは直角三角形で、図形的にθ（＝∠ＰＯＣ，∠ＰＯＡ）は60°です。
　ＯＰ＝２ｒ，ＯＣ＝ｒ　∴　cosθ＝1/2　∴θ=60°
　
Ａで発した音をＰで聞くまでに要する時間Δｔは
　Δｔ＝ＡＰ/Ｖ＝ｒ・√3/Ｖ
この時間だけ遅れて音を聞きます。
Ｂで発した音をＰで聞くまでに要する時間も、同じΔｔ
この時間だけ遅れて音を聞きます。
音源がＡ－Ｂ－Ｃと移動する時間ｔは、図形的に計算できて
　Ｔ：360°＝ｔ：120°
∴　ｔ＝…
　
求める時間Ｔ1は、音がＰまでやって来るタイムラグを考慮すると
　Ｔ1＝ｔ－Δｔ＋Δｔ
　＝…

Ｂで発した音をＰで聞くために生じる時間差Δτは
　Δτ＝ｒ/Ｖ
で、音源が　Ａ－Ｂ　と移動するのに要する時間　ｔ'　は
　360°：Ｔ＝60°：ｔ'
∴　ｔ'＝…

求める時間Ｔ2は
　Ｔ2＝ｔ'－Δｔ＋Δτ
　＝…

この回答への補足

非常に遅れてしまって申し訳ありません
Ｔ1＝ｔ－Δｔ＋Δｔは何故-Δtなのですか？

補足日時：2012/08/05 19:43

No.4 回答者： Quarks 回答日時： 2012/08/06 12:13

ANo.2です。

>Ｔ1＝ｔ－Δｔ＋Δｔは何故-Δtなのですか？

具体的な例で"計算"してみましょう。

時刻　12時　丁度に、Ａから音が出発したとします。この音(波面)がＰに着くのは
　(√3)・ｒ/Ｖ
後ですから、Ｐにいる観測者が、Ａの位置で発せられた波面を観測する（Ａから出た音を聞く)時刻は
12時から　(√3)・ｒ/Ｖ　だけ遅い時刻、つまり
　12時＋(√3)・ｒ/Ｖ　　式（１）
です。この、"遅れ"をΔτと書くことにします。
　Δτ＝(√3)・ｒ/Ｖ

発音体が１周する時間(周期)が　Ｔ＝２４[s]　だったとします（この時間は適当な値なら、いくらに仮定しても良いです）と、

Ｃに達した発音体が音を発した時刻は
　12時＋２４/3[s]
で、この音がＰで観測される時刻は
　12時＋２４/3[s]＋(√3)・ｒ/Ｖ　式（２）
となります。このときのタイムラグをΔｔとしましょう。
　Δｔ＝(√3)・ｒ/Ｖ
です。　

求めるＴ1は、（１）の時刻から（２）の時刻までの時間ですから
　(12時＋２４/3[s]＋(√3)・ｒ/Ｖ)－(12時＋(√3)・ｒ/Ｖ)

　２４/3[s]＝ｔ
　Δτ＝(√3)・ｒ/Ｖ
　Δｔ＝(√3)・ｒ/Ｖ

ですから、
　Ｔ1＝ｔ＋Δｔ－Δτ

Ａ，Ｃでは、ΔｔとΔτとは同じ時間(タイムラグ)になりますが、ＡとＢとでは異なる値になります。

この回答へのお礼

とってもわかりやすかったです
ありがとうございました

お礼日時：2012/08/06 12:53

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2012/08/05 22:20

#1です。

点Aと点Cの位置については、
#2さんがていねいに説明してくださってますね。

ポイントとなるのは、点Pに
　「もっとも速い速度で近付くとき・遠ざかるとき」
がどこかということです。


あくまでも、音源と観測点を結んだ直線方向の速度成分が
ドップラー効果に影響を及ぼす物理量になります。

ですから、点Bのように直線方向の速度成分がゼロとなるようなときには
ドップラー効果が観測されないことになります。


もし問題で点Pが「円運動から無限に遠い位置にある」といったときには、
質問者さんが最初に書かれていたような位置で、周波数が最大・最小となります。
たとえば、↓のような問題がそうです。
http://okwave.jp/qa/q6011238.html

参考URL：http://okwave.jp/qa/q6011238.html

この回答への補足

そうだったんですか
ありがとうございました

できたらNo.2の補足質問にも答えていただけたら嬉しいです

補足日時：2012/08/06 12:12

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2012/08/04 21:05

こんばんわ。

「図」についてですが、解答として書かれていた図でしょうか？
それとも、質問者さんが「ここであろう」という意味で描かれた図でしょうか？
あと、回転の方向は反時計回りとしていますよね？

というのは、振動数が最も高く聞こえる点は点Aではないと思われるからです。
同様に点Cについてもです。
「OP間距離を 2r」というところがポイントになってきます。

この回答への補足

非常に遅れて申し訳ありません
図は私の予想です
また、反時計回りです
AとCなのは間違いないはずなので、私の文がなにかおかしいのかもしれません

補足日時：2012/08/05 19:33