反転について

円を反転すると円や直線になります。
では、楕円や他の2次曲線を反転するとどうなるのか、教えてください。ヒントでも結構です。

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2004/02/08 19:01

No.3の加筆です。

No.3の公式を検算するために、「円が反転によって円や直線に写る」ということを導いてみました。

元の二次曲線を
A(x^2)+Bxy+C(y^2)+Dx+Ey+F=0
と表すので、元の曲線が式
((x-a)^2)+((y-b)^2)-(R^2)=0
で表される円の場合には
(x^2)-2ax+(a^2)+(y^2)-2bx+(b^2)-(R^2)=0
より
A=1, B=0,C=1,D=-2a, E=-2b, F=a^2+b^2-R^2
となります。だから、No.3により、その反転の曲線を表す式は
(x^2+y^2)+Dx(x^2+y^2)+Ey(x^2+y^2)+F((x^2+y^2)^2)=0
です。
●F≠0の場合、
(a^2)+(b^2)≠(R^2)
なのだから、元の円は(x,y)=(0,0)を通ることはなく、いつでも(x^2+y^2)≠0です。よって反転の曲線を表す式は
1/F+(D/F)x+(E/F)y+(x^2+y^2)=0
と変形できます。x,yについて平方完成すると
(x-D/(2F))^2+(y-E/(2F))^2=(D/(2F))^2+(E/(2F))^2-1/F
が得られます。この右辺をρと書くと
(F^2)ρ=(D^2)/4+(E^2)/4-F
ここに
D=-2a, E=-2b, F=a^2+b^2-R^2
を代入して
(F^2)ρ=a^2+b^2-a^2-b^2+R^2 = R^2
であるから、反転の曲線を表す式は
(x-a/F)^2+(y-a/F)^2=(R/F)^2, ただしF=a^2+b^2-R^2
となります。(R/F)^2は必ず正であるから、これは円です。
●F=0の場合。
(x^2+y^2)+Dx(x^2+y^2)+Ey(x^2+y^2)=0
が反転の曲線を表す式です。このとき、
a^2+b^2=R^2
となるので、元の円は丁度原点を通っています。原点(x,y)=(0,0)については反転は定義されません。元の円周上のその他の点については(x^2+y^2)≠0なので、反転の曲線を表す式は
1+Dx+Ey=0
すなわち
1-2ax-2by=0
となります。これは直線ですね。

というわけで、No.3のやり方で良いように思います。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2004/02/08 04:44

原点を定点とする単位円による反転を考えるんですね。

ある点の座標を極座標表示で(r,θ)（r>0)と表すと、その点の単位円による反転は極座標表示で(1/r,θ)に写る。
ということは、直交座標(x,y)で曲線の方程式
f(x,y)=0
が書いてあるとき、その反転を求めるには
(1) (x,y)に(r cosθ,r sinθ)を代入して、
(2) 出てきたrを全部1/rに置き換えれば、取り敢えず反転の曲線の方程式が得られることになります。
それから、
(3) cosθ=x/r, sinθ=y/rを代入してθを消去し、
(4) さらにr=√(x^2+y^2)を代入したのが、反転の直交座標表示というわけです。
で、(1)～(4)を一度にやるにはxとyをそれぞれ、x/(x^2+y^2), y/(x^2+y^2)で置き換えれば良い。
二次曲線は直交座標系(x,y)を使って
A(x^2)+Bxy+C(y^2)+Dx+Ey+F=0
で表されますから、その反転は
A(x^2)/((x^2+y^2)^2)+Bxy/((x^2+y^2)^2)+C(y^2)/((x^2+y^2)^2)+Dx/(x^2+y^2)+Ey/(x^2+y^2)+F=0
となり、((x^2+y^2)^2)を両辺に掛けて
A(x^2)+Bxy+C(y^2)+Dx(x^2+y^2)+Ey(x^2+y^2)+F((x^2+y^2)^2)=0
展開して
A(x^2)+Bxy+C(y^2)+D(x^3)+Dx(y^2)+Ey(x^2)+E(y^3)+F(x^4)+F(y^4)+2F(x^2)(y^2)=0
という方程式を得ます。

No.2 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/01/31 00:45

たとえば単位円に関してｙ＝ｘ＾２を反転することを考えると

（ｐ，ｐ＾２）を通る直線はｙ＝ｐｘ
（ｐ＾２＋ｐ＾４）（ｘ＾２＋ｙ＾２）＝１

これらの式からｐを消去してx,yの関係式を作ってみる。
あまりきれいな式にはならない。２次曲線でないことだけは確かです。

下のページで描いてみると感じはつかめるかも知れません。
ただフリーハンドで描くのはけっこう難しい。
探せばもうちょっとわかりやすいページがあるかも
知れません。

参考URL：http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/java33/i …

No.1 回答者： shinchan_k 回答日時： 2004/01/30 15:45

「反転」の意味が良く分かりません。

原点に関して対称に移動すること?
それとも・・・

この回答への補足

原点をOを中心半径ｒの円に対し、op*op'=r^2
となる点ｐ’をｐの反転とします。

補足日時：2004/01/30 21:06