関数の増減

関数y=x^3の増加する範囲はx≠0なるすべての実数ですか、それともすべての実数ですか？その理由もお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/10/05 21:11

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E8%AA%BF% …
では、以下のように書かれています。、

「実数から実数への関数 f が
x < y ならば f(x) < f(y)
をみたすとき、f は(狭義)単調増加するという。
また、
x < y ならば f(x) ≦ f(y)
をみたすとき、f は広義単調増加するという。」

Δx＞0として(x+Δx)^3-x^3＞0は全ての実数で成り立つので、
y=x^3は全ての実数で増加関数です。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/10/05 20:02

x^3 は、全実数の範囲で増加関数です。

増加(狭義単調増加)の定義： a＜b ⇒ f(a)＜f(b)
広義単調増加の定義：　　　　a≦b ⇒ f(a)≦f(b)
これのどこにも、f' は登場しません。

f'(x)＞0 ⇒ 狭義単調増加　は成り立つが、逆は言えない。
ここを勘違いしている高校生は多いですよね。

この回答への補足

教科書には「増加する」ということの定義がはっきりと書かれておらず、y=x^3の例だと「x≠0では増加する。またx=0ではy'=0となるがa<0<bのときa^3<b^3だから常に増加している」と書いてあります。この表現はどうなのでしょうか？
また、教科書ではf'(x)>0が（狭義）単調増加の十分条件という風なことしか書いていません。それなら本来の定義と違っていても教科書の範囲から出されるテストや入試などで増加する範囲をも違ってしまっても許されるのでしょうか？

補足日時：2012/10/05 21:34

No.2 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/05 18:17

f(x)=x^3とおきます．これは「すべての実数」の範囲で増加します．

a,bをa<bを満たす任意の実数としましょう．

f(b)-f(a)=b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)

ここで

b^2+ab+a^2=(a+b/2)^2+(3/4)b^2≧0

ですが等号成立はa=bのときに限ります．a<bであるため

b-a>0,b^2+ab+a^2>0∴f(a)<f(b)

したがってf(x)は常に狭義単調増加(a<b⇒f(a)<f(b))です．

この例の場合f'(x)=0となるのはx=0のときだけです．だから，x=0の一点のみ増加が止まるように見えますが，

一定の幅で止まるわけではありません

x=0のみにおいて止まるだけで，止まったと思ったらすぐ増加し始めるのです．

No.1 回答者： chie65535 回答日時： 2012/10/05 16:35

接線の傾きが「０でない正の時」は、関数y=x^3が「増加」になります。

接線の傾きが「０の時」は、関数y=x^3が「増加も減少もしない」になります。

接線の傾きが「０でない負の時」は、関数y=x^3が「減少」になります。

なので「接線の傾きが常に、０でない正の時」ならば「すべての実数」になります。

しかし、関数y=x^3は、ある点で「接線の傾きが０になる」ので「すべての実数」は誤りです。

じゃあ、「接線の傾きが０になるのはどこ？」って事になりますが、それは自分で見付けて下さい。