３次関数の変曲点の性質について

Question

ある３次関数上の点の接線が再びその３次関数と交わる点を求めるとき、変曲点の知識を使って、（接点ー変曲点）：（変曲点ー交点）＝１：２から交点を求めても入試でOKなんですか。ちょっと不安です。でも３次関数ののれきっとした性質ですよね？

oshiete_goo · Accepted Answer

大学の採点基準がどうなるかは問題の要求レベルによりけりなので（実物を見たこともありますが）、出題意図を判断できなければまずいと思います。No.1氏，No.2氏のおっしゃるように、どちらかといえば安全策を取る方がよいでしょう。問題が性質の証明を実質的に要求しているのに、「私はその性質は知っています」では不都合でしょう。とはいえ、いちいち一般的に証明するのも大変です。
よく出来ている人にもいろいろなタイプがありますが、大手の予備校の模試の採点をやった経験から結論をいえば、一般論が主要なテーマになっていない限り、知識を振り回さずにサラリとこなすのが賢明かと思います。
　たとえば３次関数 f(x) の具体形が与えられていて x=α の点での接線が 
y=ax+b ならば f(x)-(ax+b) は (x-α)^2 で割り切れて、
　　f(x)-(ax+b)=(x-α)^2*(px+q)
と因数分解される。ここで、もちろん(px+q)の具体形は先刻ご承知のことでしょうが、割り算(3次の項と定数項の係数比較)をしましたというふりをしておけば、別に変曲点を表に出さなくても話はすむし、ケチのつけようはないです。
なお、しばらく前も一般的説明なしに、「（変曲点に関する）対称性より」とやったものはかなり致命的な減点になりました。

oshiete_goo · Answer

No.10に関する質問者の疑問点に対する回答
＞「x座標をx=t(変数)とおいてもう1つの交点のx座標 x=-2t」が得られる過程の求め方は、接線を連立させて求める一般的な解き方ですか？それとも、（接点ー変曲点）：（変曲点ー交点）＝１：２から解くやりかたですか？

これはNo.8に関する質問者の疑問点に対する回答の補足でもあります．
＞「x=t(変数) である一般的な接点での接線の一般式(tの式)と移動後の曲線(y=g(x)とする)より，他の交点は x=-2t の点といえて，「同様の議論によりx=-2t である接点での接線とy=g(x)の交点はx=-2(-2t)=4t である点なので．．．」などと話を進めて，・・・」 
のところで、これはNo,7のように「接線と連立して因数分解」する方法で解かれていませんよね。 
------------------------------------------------------------------
（前半）（任意の実数ｔに対して）「x=t(変数) である一般的な接点での接線の一般式(tの式)と移動後の曲線(y=g(x)とする)より，他の交点は x=-2t の点といえて，」
ここまでは具体形を用いて曲線と接線の式を連立して解いてみせます．
ただし，３次曲線は原点中心に設定されているか，またはあらかじめ平行移動しておかないと一般論だとつらいでしょう．（1回や２回交点を出すだけなら，そのままでもなんとかなりますが，交点だけでなく，あとで積分が入って来る問題なので．）
（後半）「同様の議論によりx=-2t である接点での接線とy=g(x)の交点はx=-2(-2t)=4t である点なので．．．」
前半で一般的な変数tに対する結果が得られていますから，ここは既述の通り計算はせずにこの通りに片付けて良い．

oshiete_goo · Answer

No.10の補足
＞たとえば，関数G(t)=-2t ならば，G(-2t)=4t という話です．
ここでの文字tは任意の実数です．どんなtでも常にG(t)=-2tが出てくる --> tのところに-2tを代入するとG(-2t)=4t という話であり，
「G(t)=t-3 ならば G(1)=-2 だが G(-2)=-5で4じゃない」という話ではありません．（すでにご承知の賢明なる諸氏には失礼ですが）念のためお断りしておきます．

oshiete_goo · Answer

No.8の回答についての質問者の疑問点への回答
はじめに一般の接点のx座標をx=t(変数)とおいてもう1つの交点のx座標 x=-2tが得られたわけですが，別にはじめx=3tとおいてもx=-1000tとおいても，文字tは単なるパラメーターであって，結論は「おいた文字」の－2倍が一般的に得られたということです．するとこの議論でx=tのところの文字tを(-2t)でそっくり置き換えれば結論がx=-2*(-2t)=4t となることは使ってよいのです．
たとえば，関数G(t)=-2t ならば，G(-2t)=4t という話です．

KaitoTVGAMEKOZOU · Answer

ふふふ…。
整式f（ｘ）についてｆ(x)が(ｘ－α)^2で割り切れる⇒ｆ(α)＝０かつｆ’(α)＝０
は証明していますが、逆が証明されていませんよ…。時間節約のために、私がやってしまいましょう。

ｆ(x)を(ｘ－α)^2で割ると、商がＱ(ｘ)、余りがｐｘ＋ｑになったとする。
つまり、ｆ(x)＝(ｘ－α)^2Ｑ(ｘ)＋ｐｘ＋ｑ  と書ける。
ｆ’(x)＝２(ｘ－α)Ｑ(ｘ)＋(ｘ－α)^2Ｑ’(ｘ)＋ｐ

さて、
ｆ(α)＝０かつｆ’(α)＝０
⇔ｐα＋ｑ＝０ かつ  ｐ＝０
⇔ｐ＝ｑ＝０
⇔ｐｘ＋ｑ＝０
⇔ｆ(x)＝(ｘ－α)^2Ｑ(ｘ)
⇔ｆ(x)が(ｘ－α)^2で割り切れる

これは同値変形である。さて本題に入ろう。ところで、上の定理は実はいりません。但し、差の関数を作るというところをマスターしていればの話ですが。
つまり、Ｎｏ３で、私は以下のようにやりました。
「接線をｙ＝Ｌ(ｘ)　とする。接点をα、残りの交点をβとすると、 
  f(ｘ)－Ｌ(ｘ)＝ａ（ｘ－α)^2(ｘ－β)　と書ける。」 
私のように、受験数学に毒された人間は、接線の方程式を立てることに強い嫌悪感を抱きます。欲しいのは接点なんだ！接線じゃないと…。だから、接点を求めるのに接線の方程式を持ち出すのは愚の骨頂じゃぁ！と考えます。まあそれはいいとして、「差の関数を作る」は大学への数学・数学ショートプログラム（東京出版で定価１０５０円）を読んでもらえばわかるので、ここでは簡単に一寸だけ説明。３次曲線f(ｘ)＝ａｘ^3＋…と直線ｙ＝Ｌ（ｘ）がｘ＝α，β，γの3点で交わっている。
f(ｘ)とＬ（ｘ）の差を考えてみる。

f(ｘ)－Ｌ（ｘ）＝ａ(ｘ－α)(ｘ－β)(ｘ－γ) と書けるのはわかるだろうか。単なる、因数定理を用いた因数分解である。終わり。また、β→αという操作をすれば、αで接する→(ｘ－α)^2を共通因数にもつも容易にわかるだろう。しかし、せっかく定理を証明したのだから、あれを使って考えてみよう。


f(ｘ)＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ　のｘ＝αにおける接線の方程式は、傾き＝微分係数より、
{ｙ－f(α)}／(ｘ－α)＝f’(α)
⇔ｙ＝f’(α)(ｘ－α)＋f(α)  この式は、ｘ＝αのときも、ｙ＝f(α)で題意を満たす。
ｇ(ｘ)＝f(ｘ)－｛f’(α)(ｘ－α)＋f(α)｝とおくと、（これがヒネクレテイルと思う）
ｇ’(ｘ)＝f’(ｘ)－f’(α) である。
ｇ(α)＝０，かつｇ’(α)＝０を満たすので、ｇ(ｘ)＝ａ(ｘ－α)^2Ｑ(ｘ)とかける。
さらに、ｇ（β）＝０でもあるので、結局、ｇ(ｘ)＝ａ(ｘ－α)^2(ｘ－β)

ｘ^2の係数を比べて、ｂ＝－ａ（２α＋β）⇔２α＋β＝－ｂ／ａ
そしてここっからがひねくれまくりで、
２α＋β＝－ｂ／ａ
⇔３（２α＋β）／（１＋２）＝－ｂ／ａ
⇔（２α＋β）／（１＋２）＝－ｂ／３ａ
⇔αとβを１：２に内分した値＝－ｂ／３ａ＝変曲点のｘ座標

しかし、変曲点＝－ｂ／３ａは、数３の知識を使わないと楽に説明できない。文系じゃあ第２次導関数はやらんからな。とりあえず今日は寝ます。

oshiete_goo · Answer

No.7の回答に関係した部分の補足です. (No.2の回答者ではありませんが, )
No.2の回答に関する質問者の言葉の中にある次の問題
--------------------------------------------------------------------------------
＞「xy平面上で、曲線C：y=x^3 + ax^2 + bx + c上の点Pにおける接線 j がPと異なる点でQで交わるとする。 jとCで囲まれた面積と、Qにおける接線mとCで囲まれた部分の面積を求め、これが一定であることを示せ」という問題で使って良いのでしょうか？この問題では面積だから平行移動して y=x^3 + Ax とかくこともできますよね
--------------------------------------------------------------------------------
について．
  このような一般性を主題にした問題だと，元の式は簡単な形で与えられることが圧倒的に多いですが，もしそうでないときはそのままの式でやるとかなり見づらいので，変曲点を原点にもってくるように平行移動するのが良いでしょう．理由は言わずに「曲線をx軸方向に**, y軸方向に**だけ平行移動すると．．．．となる．」とここは事実のみ示すのが良いです．別に対称性にも触れなくてよいです．
すると移動後について，x=t(変数) である一般的な接点での接線の一般式(tの式)と移動後の曲線(y=g(x)とする)より，他の交点は x=-2t の点といえて，「同様の議論によりx=-2t である接点での接線とy=g(x)の交点はx=-2(-2t)=4t である点なので．．．」などと話を進めて，グラフの上下関係に注意すると
  はじめの図形の面積S1=S(t)=∫(-2t から tまで){g(x)-(接線)}dx を計算してtの式で表し，次の図形の面積S2は「tを(-2t)で置き換えたものだからS2=S(-2t)」と言いきって，S2/S1=S(-2t)/S(t) がtに依存しない定数になることを示して, この比はtによらない定数だから...」と強調すればおしまいです．
  なお，面積を求める際，xの3次の係数が正の場合はtの符号によらず上の式で正しいはずですが，xの3次の係数が負の時は逆符号になりますので, (一般的証明はしなくて良いので）典型的な場合のグラフを描いて上下関係を確かめてS(t)の式の符号にはご注意．
  但し，ここで逆にしても S(-2t)/S(t) の比の値には影響しないし，本質的にさほど重要でないので，間違って定義しても両方とも逆で一貫していればほとんど減点されないのが普通です．

oshiete_goo · Answer

---No.5の回答に関する質問者の疑問点に対する回答---

結論としては変曲点は前面に出さず，検算用に使うのがいいでしょう．（知っていてそれないように話を運ぶ．）ただし，以下の解答では全くそんな知識は不要です．
実際の典型問題を例に取り上げます。
---------------------------------------------------------------------------------
f(x)=x^3+3x^2+ax+b (a, bは定数)とする. 曲線y=f(x)上の点(2,f(2))における接線が，
この曲線と交わるもう１つの点のx座標を求めよ．
---------------------------------------------------------------------------------
[解] f(x)=x^3+3x^2+ax+b, f'(x)=3x^2+6x+a
より曲線上の点(2,f(2))における接線は y-f(2)=f'(2)(x-2) <==> y=(a+24)x+b-28 ・・・(1)
(ここで f(2)=2a+b+20, f'(2)=a+24 を用いた)である．
曲線y=f(x)と接線(1)は x=2 の点で接するので f(x)-{(a+24)x+b-28} は (x-2)^2 で割り切れ
[<--ポイント(重解条件)], ３次の項の係数が１であることに注意すると
f(x)-{(a+24)x+b-28}=(x-2)^2 (x+c) ・・・(2) (cは定数)
<==> x^3+3x^2-24x+28=(x-2)^2 (x+c)
と因数分解される．
これはxの恒等式なので定数項を比較して28=4c より c=7 である．
すると曲線y=f(x)と接線(1)の共有点のx座標は方程式(2)=０を解いて
x=2(重解), -7
よってもうひとつの交点のx座標は-7 ・・・(答)．

[補足] 定数 a, bに惑わされず，具体的な因数分解（割り算）で形を決めてしまうのが得策．また，上の解答中で，x+c でなく意味を重視してx-cとおくと，求める解がcそのもの(-7)になる．ただし，3次の係数が１でなくて(2x+7)などとなる場合もあるので，無理に合わせなくてよい．
ちなみに変曲点はf''(x)=6x+6=0 を解いて，x=-1の点であり，ご質問の「変曲点まで(x座標が)１：(－２)」の関係から他の交点は x=-7 の点とわかる．ただし，まともな大学の記述問題では使えないでしょう．

KaitoTVGAMEKOZOU · Answer

ええーーーーーーー！?
変曲点って言葉を使ってるから、てっきり数３やってるのかと思ったよ。じゃあ文系なの？
文系だとひとつの知識を仕入れないと駄目だね。

「整式f（ｘ）についてｆ(x)が(ｘ－α)^2で割り切れる⇔ｆ(α)＝０かつｆ’(α)＝０」を証明してみて。

それから、私の回答は長く複雑に見えるかも知れないが、ちゃんとわかっていれば、ポイントを抑えた解答は出来る。それから、たぶん他の回答者様はお気づきだと思いますが、私のやり方の方が「正攻法」なんですよ。ただこの方法はある程度計算能力が必要だし、グラフの変換をちゃんと勉強していないと楽には見えない。
だいたいエレガントで美しい解答は、正攻法からはずれている場合が多い。だから、基本段階ではとことん苦労して正攻法で学び、力がついてきたらエレガントに解く技術を身に付ければよいと思う。

mozniac · Answer

jiro_02様、No.1様へ

>接点の x 座標は √3 
>交点の x 座標は -2√3 
>変曲点の x 座標は 0 

x座標について成り立つってことですね。
2点の距離のことだと思っていました。
教えてくださってTHANK YOUです。
お騒がせでした。

KaitoTVGAMEKOZOU · Answer

使えるよ。なぜならば、この知識は簡単に説明できるから。
ｙ＝ａｘ^3＋ｂ^2＋ｃｘ＋ｄ　で考える。

＜解＞
ｙ＝f(ｘ)＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝ａ(ｘ－α)^3＋Ｐ(ｘ－α)^2＋Ｑ(x－α)＋Ｒ…（☆）と置く。
☆式より、
f(α)＝Ｒ＝ａα^3＋ｂ^2α＋ｃα＋ｄ　　…（１）

☆式の両辺をｘで微分する。
f’(ｘ)＝３ａｘ^2＋２ｂｘ＋ｃ＝３ａ(ｘ－α)^2＋２Ｐ(ｘ－α)＋Ｑ　
∴f’(α)＝３ａα^2＋２ｂα＋ｃ＝Ｑ　…（２）

さらに、ｘで微分する。
f''(ｘ)＝６ａｘ＋２ｂ＝６ａ(ｘ－α)＋２Ｐ
f''(α)＝６ａα＋２ｂ＝２Ｐ　⇔Ｐ＝f''(α)／２＝３ａα＋ｂ　…（３）

よって、☆式と(１),(２)，(３)式より、
ｙ＝f(ｘ)＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝ａ(ｘ－α)^3＋f''(α)(ｘ－α)^2／２＋f’(α)(x－α)＋f(α)…（☆）’

☆’式で、f''(α)＝０となるαを求めてみる。
f''(α)＝０＝３ａα＋ｂ⇔α＝－ｂ／３ａ　
このとき、
ｙ＝f(ｘ)＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝ａ(ｘ＋ｂ／３ａ)^3＋f’(－ｂ／３ａ)(ｘ＋ｂ／３ａ)＋f(－ｂ／３ａ)…（☆）”

この曲線を、ｘ軸方向ｂ／３ａ　、ｙ軸方向－f(－ｂ／３ａ)　平行移動すると、
ｙ＝ａｘ^3＋f’(－ｂ／３ａ)ｘ　　となり、この曲線のグラフは原点に対して点対称だから、結局ｙ＝f(ｘ)のグラフは点（－ｂ／３ａ，f(－ｂ／３ａ)）に対して点対称である。


さて、本題に入るとするか。（長いプロローグだったぜ）
接線をｙ＝Ｌ(ｘ)　とする。接点をα、残りの交点をβとすると、
f(ｘ)－Ｌ(ｘ)＝ａ（ｘ－α)^2(ｘ－β)　と書ける。
ｙ＝f(ｘ)のグラフとｙ＝Ｌ(ｘ)のグラフをそれぞれ、ｘ軸方向ｂ／３ａ，ｙ軸方向
－ｆ(－ｂ／３ａ)平行移動すると、接点と交点のｘ座標も当然ｂ／３ａ平行移動する。この座標をそれぞれ、α’，β’とする。
ところで、この平行移動したグラフで表された式にはｘ^2の項がない。そこで、解と係数の関係より、
０＝２α’＋β’⇔｜α’／β’｜＝１／２　　この関係は、平行移動する前にも当然成り立っているので、証明終わり。

＜解説＞
変曲点を求めるまでは、級数展開の技法を使った。立方完成はぜひ、知っておいて欲しい。具体的な問題では、このような長い答案を作るのではなく、数３の知識で、２階微分の解＝変曲点のｘ座標で十分であるとすればよい。その意味で文系の学生はできないので、この級数展開を示しておいた。別に文系でも数３を勉強している学生はいるはずなので、２階微分しても一向にかまわない。文系の学生が、積の微分公式を使ったから×、合成関数の微分を使ったから×とやる馬鹿はイナイ。個人の努力、あるいは個性を否定するがごとき野蛮な行為は認められないからである。

さて、変曲点から、｜α’／β’｜＝１／２は割と楽に出来る。だって計算だけだし。だから、これを使うときは簡単に証明しておけばよい。
具体的には、
１．変曲点を求める。
２．変曲点を原点に持ってくる平行移動をする（とだけいえばよい）。
３．ｘ^2の項はない⇔｜α’／β’｜＝１／２

以上！何ぞわからんことやある？

３次関数の変曲点の性質について

大学の採点基準がどうなるかは問題の要求レベルによりけりなので（実物を見たこともありますが）、出題意図を判断できなければまずいと思います。

No.10に関する質問者の疑問点に対する回答

No.10の補足

No.8の回答についての質問者の疑問点への回答

ふふふ…。

No.7の回答に関係した部分の補足です. (No.2の回答者ではありませんが, )

---No.5の回答に関する質問者の疑問点に対する回答---

ええーーーーーーー！?

この回答への補足

jiro_02様、No.1様へ

使えるよ。

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