パップスの定理

三角形の周りに平行四辺形を書いてその面積が等しくなるという方のパップスの定理の証明方法はありますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： muturajcp 回答日時： 2012/10/12 13:50

△ABCにおいて,2辺AB,AC上にそれぞれ平行四辺形ABDE,ACFGを作り、

それぞれの面積をS1,S2 とする。
またDEとFGの交点をHとする。
辺BC上に平行四辺形BCNMを作る。
ただし,BM=CN=HA,BM//CN//HAとする。
このとき、BCNMの面積をS3 とする
MBを延長した直線を直線MB
直線MBと直線DHの交点をI
直線NCと直線FHの交点をJ
直線HAと直線BCの交点をK
直線HAと直線MNの交点をL
Aから直線DHへの垂直点をP
Aから直線FHへの垂直点をQ
Aから直線MBへの垂直点をR
Aから直線NCへの垂直点をT
とすると
□ABIH,□ACJH,□BMLK,□CNLK
はすべて平行四辺形となるから
S1=|□ABDE|=|AB||AP|=|□ABIH|=|AH||AR|=|BM||AR|=|□BMLK|
S2=|□ACFG|=|AC||AQ|=|□ACJH|=|AH||AT|=|CN||AT|=|□CNLK|
S3=|□BCNM|=|□BMLK|+|□CNLK|
だから
S1+S2=S3
が成り立つ。

この回答への補足

平行移動して面積が等しいと言えばいいのですね。
点の座標を置いてベクトルを用いても示せますか？

補足日時：2012/10/12 16:02

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/10/12 13:34

パップスの定理は、中線定理、平行四辺形の定理(parallelogram law)、Apollonius' theoremとも呼ばれています。

以下の中に色々な証明があるので参考になるかと思います。

（参考URL参照）
(1)http://ja.wikipedia.org/wiki/中線定理
(2)http://en.wikipedia.org/wiki/Parallelogram_law
(3)http://contest2004.thinkquest.jp/tqj2004/70105/o …
(4)http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/complex/c …　の (例1)
(5)http://en.wikipedia.org/wiki/Apollonius%27_theorem

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/中線定理