No.4ベストアンサー
- 回答日時:
反例は、実はきっちり調べる必要があります。
もちろん、偶然思いついた値が反例になれば、それでもいいのですが、実用に供する数学解としては、反例では不足なことが多いですよ。>x^2≧4⇒x≧2
x^2-4≧0と変形します。すると、(x-2)(x+2)≧0です。これは、
x-2≧0かつx+2≧0 ∴x≧2かつx≧-2 ∴x≧2
または
x-2≦0かつx+2≦0 ∴x≦2かつx≦-2 ∴x≦-2
となり、「x≧2またはx≦-2」となります。
ここで、与えられた条件「x≧2」と見比べると、「x≦-2」を満たしません。
ようやく、確信を持って反例を言える段階に来ました。たとえば「x=-3」なら、「x^2≧4」を満たしても、「x≧2」を満たしません。よって、与えられた命題は偽です。
>x^2=1⇒x=-1
同様に、(x-1)(x+1)=0として、「x=1またはx=-1」となり、「x=1」が「x=-1」の反例となります。もちろん、いきなり「x=±1」と解いてもOKです。
>mが素数⇒mは奇数
mは素数とされているから整数ですね? そうだとして。
これは「素数とは何か?」となり、数式では難しい命題ですね。こういうときは「命題の真偽は、その対偶の真偽と同じになる」ということを使います。
命題が「Aであるなら、Bである」であれば、対偶とは「Bでないなら、Aではない」というものです。AとBの否定を、逆に言うものが対偶です。
対偶にしてみましょう。「mが奇数ではない⇒mは素数ではない」ですから、「mは偶数⇒mは素数ではない」となります。
その通りだ、正しい、と慌てそうになりました。偶数の2は素数なのでした。対偶が偽となりますから、元の命題も偽です。
>整数nについて、n^2≦4⇒-3≦n≦3
やはり、(n-2)(n+2)≦0とすると、「-2≦n≦2」が出てきます。整数だということに注意すると、その範囲を超えるのは、まず「-3」と「3」があります。
どちらも「n^2≦4」を満たさず、しかし「-3≦n≦3」は満たします。よって「x=3, -3」(だけ)が反例となり、命題は偽です。
ちなみに、もし「-3<n<3」だったら真ですね。整数や自然数だとうっかりしやすいかもしれません。
No.2
- 回答日時:
もう回答出てるみたいですが、少し詳しく見ていきますか。
x^2≧4⇒x≧2
これは普通に2次不等式解きましょう。
x">=4
x"-4>=0
(x+2)(x-2)>=0
よって
x>=2 もしくはx=<-2という風になります。
これであれば必ずx>=2というのはおかしいでしょ?
よって既に出ているように偽です。
x=<-2が反例となります。
x^2=1⇒x=-1
はい、これも不等式解けばわかります。
いたって単純なのでまず御自身でもトライしましょう。
x"=1を解くと、
x"-1=0
(x+1)(x-1)=0
x=1もしくは-1
これであれば必ずx=-1というのはやはりおかしい。
偽です。
x=1が反例です。
mが巣数⇒mは奇数
多分これ素数の打ち間違いですよね?
それを前提としますが、
素数というのはその数でしか割りきれない数のこと。
例)2,3,5,7,11など。
こういう風に例を挙げると、自然とわかりますね。
素数は偶数も入ってるので命題は偽ということになります。
偶数もあるのにmは奇数などと断言してはダメなのです。
反例は偶数です。
整数nについて、n^2≦4⇒-3≦n≦3
これは解いて下さい。
n"-4=<0
(n+2)(n-2)=<0
-2=<n=<2となり、-3以上3以下の範囲内に入っています。
よって真です。
コメント:どちらをベストアンサーにするかはake58643さんに任せますが、
これ解けないと必要条件、十分条件の問題が解けないので
もう少し頑張りましょう。
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