|sina-sinb|<=|a-b| の不等式を証明せよ。
という問題について質問です。
(解答)
f(x) = sinx とおくとf(x)は微分可能でf'(x)=cosx
(i) a≠bのとき、平均値の定理より、
{f(a)-f(b)}/(a-b)=f'(c)
すなわち、(sina-sinb)/(a-b)=cosc
を満たす実数cがaとbの間に存在する。
|cosc|<= 1 だから|(sina-sinb)/(a-b)|<= 1
ここまでは分かるのですが、等号が成立するときがわかりません。
等号が成立するのは、
f'(c)=cosc=±1 より、c=nπ(nは整数)のときだが、
このときの点(c,f(c))は変曲点だから、(sina-sinb)/(a-b) が±1になることはない。
だから実際には等号は成り立たない。
と書いてあるのですが、なぜ変曲点で等号が成り立たないのかわかりません。
教えてください。
お願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
↑に回答したとき、奇妙な質問だなと思ったのですが、
こういう背景があったのですね。
それは、「解答」の説明が変だなあ。
実際、|sin a - sin b| ≦ |a - b| の等号は、
a = b のとき成り立ちます。
等号成立が a = b のときだけなので、
(sin a - sin b)/(a - b) = ±1 と変形することは
できないのですが。
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