跳ね返り係数を用いた衝突後の時間

Question

高さh 質量mの小球を静かに離した。h,m,g,e (eは0<e<1)で空気抵抗はないとする

それで問題に入ります。

問１　床に衝突する直前の速さv_0と衝突するまでの時間t_0を求めよ

これは　エネルギー保存則を使って
mgh = 1/2 mv_0 よってv_0 = √2gh

時間は等加速度運動より、h = 1/2gt_0^2
よって
t_0 = √2h/g

と出してみました。

問２　床に衝突して鉛直上向きに跳ね返った。この時、衝突後のv_1とこの後、２回目に衝突するまでのt_1を求めよ

で前者の問題は
跳ね返り係数から　e = v_1/v_0 からv_1=v_0e
よって
v_1 = e√2gh

と出しましたが次の最後のt1の求め方がまったくわかりません。

解答では-v_1 = v_1-gt_1によりという説明でいきなり答えが出ていたのですがこの式の意味がわかりません。

丁寧に教えてもらえますか。それと上記の問題で解答が間違っていたら指摘して下さい。

lazydog1 · Accepted Answer

>-v_1 = v_1-gt_1

これは、落ちてきた小球が床で跳ね返る時刻を0として、初速v_1で跳ね返り、t_1秒後に落ちて来たときの速度を表しています。上方向を正としています。

右辺が初速v_1から、下向きの加速度gがt_1秒間働きますから、v_1-gt_1です。左辺は、再び落下してきて二度目の床への衝突直前の速度です。空気抵抗がないことから力学的エネルギーが失われず、速さは跳ね返るときと同じで、向きが下向きであるのえ-v_1です。

それでも解けますし、別の解法としては最初に上から落としたときと同じやり方でもよいです。空気抵抗がないことから、上から落とすのと、そこまで投げ上げるのは全く対称的な動きになります（具体的には時間を反転すればよい）。

つまり、投げ上げて落ちてくるまでの時間は、最も高く上がった位置から落としたときの2倍の時間でいいのです。単に落としたときの求め方は、もう解いておられます。それと同じ要領でやり（上がる高さをh_2として、それをv_1で表して解いて行けばOK）、その2倍の時間とすればOKです。

模範解答の方が早いかもしれませんが、それを思いつかない場合でも、既に分かっていることと似ていないか、同じ形の式が使えないか考えると、解けることも多いですよ。

hitokotonusi · Answer

跳ね返った後何がおきるかというと、

1. 速さv1で上向きに運動をはじめる
2. 上昇して頂点にとどき、そこから下降をはじめる
3. 床に届く直前の速さは1.と同じ大きさで下向き(エネルギー保存則などから)

これを定式化出来るように書き直すと、上向きを正方向として

1. 初速度+v1(+なので上向きの速度)で運動をはじめる
2. 加速度-g(-なので下向きの加速度)の等加速度運動。投げ上げ問題。
3. 床に落ちる直前に-v1の速度(-なので下向き)

で、1から3までt1秒かかったとすると、その間は2の初速v1, 加速度-gの等加速度運動なので、跳ね返ってからt1秒後の速度v(t1)は

v(t1) = v1 - g t1  = -v1

>-v_1 = v_1-gt_1