２π∫０～１（１－ｔ）＾２cos２ｔｄｔの積分

２π∫０～１（１－ｔ）＾２cos２ｔｄｔの部分積分の仕方を教えてください！

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/05 02:22

部分積分というのは、

積の微分 (fg)' = f'g + fg' を積分して、
fg = ∫f'gdx + ∫fg'dx として使うこと。

だから、計算したい積分 ∫f'gdx よりも
∫fg'dx のほうが簡単なことが、要件となる。
与えられた被積分関数を、積分しやすい f' と
微分したら簡単になる g の積に分解する
ことがポイント。

今回のように、多項式と三角関数の積なら、
三角関数を f' 多項式を g として、
∫f'gdx = fg - ∫fg'dx と変形すればよい。
部分積分を二度行えば、多項式側が定数になり、
ただの三角関数の積分に帰着される。

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/06/04 18:23

＞部分積分の質問なので不定積分で回答します。

∫(1-t)^2cos2tdt=∫(1-2t+t^2)cos2tdt
=∫cos2tdt-2∫tcos2tdt+∫t^2cos2tdt
∫cos2tdt=(1/2)sin2t+C1(積分定数)・・・(1)
{(t/2)sin2t}'=(1/2)sin2t+tcos2tから
∫tcos2tdt=(t/2)sin2t-∫(1/2)sin2tdt
=(t/2)sin2t+(1/4)cos2t+C2(積分定数)・・・(2)
[{(1/2)t^2}sin2t]'=tsin2t+t^2cos2tから
∫t^2cos2tdt=(1/2)t^2sin2t-∫tsin2tdt・・・(3)
ここで{(-t/2)cos2t}'=-(1/2)cos2t+tsin2tから
∫tsin2tdt=(-t/2)cos2t+∫(1/2)cos2tdt
=(-t/2)cos2t+(1/4)sin2t+C3(積分定数)・・・(4)
(4)を(3)に代入
∫t^2cos2tdt={(1/2)t^2-(1/4)}sin2t+(t/2)cos2t-C3(積分定数)
以上から∫(1-t)^2cos2tdt
={(1/2)t^2-t+(1/4)}sin2t+(t/2-1/2)cos2t+C(積分定数)
(積分定数はまとめてあります)

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/06/04 17:37

「部分積分」とやらがどういうものか, 理解していますか?