非斉次線形微分方程式の特性方程式について

(d^2 x/dt^2)-2dx/dt+5x=e^(2t)を解くときの答えが下の画像なのですが、この場合特性方程式を解かなくていいんですか？
また、どのような場合特性方程式を使わずにいきなり解の形を予想するんですか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/03 18:14

下から二行目に「１つの解は」と書いてある。

非斉次定係数線型微分方程式の一般解は、
そのような１つの解(特殊解という)と、
もとの方程式を斉次化した斉次定係数線型微分方程式の一般解の
和で表される。
特性方程式を使うのは、斉次定係数線型微分方程式の解法だった。
今回も、解を１つだけ(特殊解)でなく全て(一般解)求めるのであれば、
特性方程式を使うことになる。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/03 17:35

斉次線形微分方程式を解く場合、特性方程式を解くと求められる

が、特殊解を求めるときは特に必要ない。

非斉次の関数が簡単な場合は、予想がつくときがある。
　e^(ax), sin(wx),cos(wx), xの多項式
など。