回転放物面の表面積

上に凸の放物線と、その放物線にx軸に対して対称な放物線のつくる領域を、ｙ軸を軸に回転させた立体の表面積は、高校数学の範囲で求められますか？　体積は定積分で求められると思うのですが…

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/09/29 00:14

こんばんわ。

求められますよ。
ただし、「曲線の長さ」を求める式を理解していないといけません。
これは数IIIの範囲になります。
考え方としては、りんごの皮むきのように剥かれた細い皮の幅を寄せ集めることを考えます。

過去にあった質問をつけておきます。
参考まで。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7605374.html

参考URL：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7605374.html

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/09/29 00:26

求められる求められない以前に、高校までの範囲では、

可展面でない曲面の面積など定義されていないはずなんだが…
その割りに、小学校以来、球面積はよく登場する。何でかな？
回転面の面積だけは定義されてるってことなのだろうか？ 謎。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2013/09/29 01:20

y≧0の放物線を

　y=a-x^2 (a>0)
とすれば放物線の第一象限に存在する部分は
　x=(a-y)^(1/2)=f(y)とおく。
　f'(y)=-(1/2)/(a-y)^(1/2)

表面積Sは,回転体の表面積Sは
S=2*2π∫[0,a] |f(y)|(1+(f'(y))^2)^(1/2)dy
　=4π∫[0,a]{(a-y)^(1/2)}(1+(1/(4(a-y))))^(1/2) dy
　=4π∫[0,a](a-y+(1/4))^(1/2) dy
　=-(8π/3)[(a+(1/4)-y)^(3/2)][0,a]
　=(π/3){(4a+1)√(4a+1)-1}
となります。

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/09/29 01:29

その式が、どう計算できるかよりも、

なぜ成り立つのかのほうが、大切なんだがな。
言っても、解らんやつには、解らん。

この回答へのお礼

個人的にガツンときたのでベストアンサーにさせていただきます！笑　どうもありがとうございました。

お礼日時：2013/10/14 08:50

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/09/29 02:31

#1です。

確かに高校数学の範囲では定義されていないので、
求められないが正解なのかも。

積分の場合には、計算結果が正しく収束するかも大事な要素ですね。
このあたりの話も高校数学の範囲外になってしまいますが。

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2013/09/29 22:27

そう思う。

立体の体積とか、平面図形の面積とかなら、
上方和と下方和でハサミウチして考えれば、
ほぼ素朴な直感どおりの結果になるが、

曲面積とか弧長とかは、微小量を持ち出して
やたらなことをやると、オカシナことが起こる。

定義を確認して、計算が正しいことを検証せず、直感的な議論で公式を導入するのは、無理がある。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。　あれから、ひとつひとつ公式の由来勉強してやっと自分が何をやっているのか少し分かるようになったように思います。　

高校の範囲はちょっとはみ出てしまいましたが、おかげでなんとか答えにたどり着けました！

お礼日時：2013/10/14 08:49