次のような問題です。
------------------------------
正六角形の,向かい合う頂点を結び,等しい正三角形6個に分ける。
この6つの部分を,異なる5色で塗る。
ただし隣り合う部分は,異なる色で塗る。
塗り分ける方法は何通りあるか。
------------------------------
異なる6色で塗り分けるのなら,円順列と成り,5!=120と簡単にできます。
ところが,6カ所を 5色,たとえば,「赤,青,黄,緑,白」で塗ると考えると
難しくなり,考えあぐねています。
どなたか,分かりやすく,明快な解答を教えて下さい。
香深
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
他の回答者に言われて気付いた。
>・2個の場合
>例えば、
>赤 青 白 赤 黄 緑
>とか。
このパターンの場合
赤 青 白 赤 黄 緑
と
赤 黄 緑 赤 青 白
は、同じです。
青と緑の間に挟まれた赤を起点にすると、どちらも
赤 青 白 赤 黄 緑
になっちゃいます。
上記のような「対称性」を考慮して考えると
(同じ色の間に1色挟まる時のパターンの数+同じ色の間に2色挟まる時のパターンの数+同じ色の間に3色挟まる時のパターンの数)÷2
が答えになります。
2で割るのは「対称性がある為に、同じ物を2重に数えているから」です。
答えは、(5!+5!+5!)÷2=180です。
この回答への補足
お礼
chie65535 さん。
Tacosan さん。
tsuyoshi2004 さん。
私のつたない質問を,一緒に考えて下さって
ありがとうございました。
chie65535 さんの解答が,正解ではと思いますので,
この質問を締め切ります。
よく分からない問題はまた質問しますので,教えて下さい。
まずは,皆さんにお礼まで。
香深。
「同じ色の間に1色挟まるときのパターン」=「同じ色の間に3色挟まるときのパターン」と考えてもよいのでしょうか。
これを パターンAとしましょう。
そう考えると,
パターンAを数えてみると,
「同じ色」=「最初の色」の決め方が5通り
残りは,4カ所あるので,4!通り。
つまり,このパターンは5×4!=5!
「同じ色の間に2色挟まるときのパターン」
これをパターンBとしましょう。
パターンBを数えてみます
これも,同じく5!通りですが,これは180度回転すると対称になるので,同じものを2回数えることになります。
そこで,この場合は5!÷2
パターンA+パターンB= 5!+5!÷2
=120+60=180
となります。
つまり,chie65535 さんと同じ結論になりますが,
この考え方でも良いのでしょうか。
「対称性」と,Tacosan さんの言われていることは,
「回転すると同じものが出来る」といわれているのだろうと思いますが。
香深
No.3
- 回答日時:
#1, #2 のどちらも同じ間違いをしている. つまり, とあるパターンを 2回数えてしまっている.
方針はあってるんだけど, 対称性を忘れてる.
教えていただきありがとうございます。
どのようなパターンを2回数えているのでしょうか。
最終の塗り分け数はいくらになるのでしょう。
香深
No.2
- 回答日時:
2箇所に塗る色の場所を考えると、選択肢は1個飛ばした箇所に塗るか向かい合う場所に塗るかの2通りしかありません。
5色を「赤,青,黄,緑,白」とします。
仮に赤を2箇所に塗ることを考えると、
そうすると仮に赤を二箇所に塗るとすると残りの4箇所に塗り方は4!=24通りになります。
それで赤が1個飛ばした場所に塗るのと向かい合う場所に塗るという2通りがあるので、
24×2=48通りです。
同様に青、黄、緑、白をそれぞれ二箇所に塗るということが可能なので、
48×5=240通りです。
No.1
- 回答日時:
「隣り合わないどれか2つは、同じ色で塗る」のを「1つ」として考えます。
例えば、
赤 青 赤 白 黄 緑 → 2個目の赤は無視して 赤 青 白 黄 緑 と考える
赤 青 白 赤 黄 緑 → 2個目の赤は無視して 赤 青 白 黄 緑 と考える
など。
ここで、
赤 青 赤 白 黄 緑
と
緑 赤 青 赤 白 黄
は、同一視します。「2個ある色である赤を起点にすれば、同じ配列」ですから。
ここで、同じ色のコマの間に別の色が何個あるか、を、別々に考えます。
・1個の場合
例えば、
赤 青 赤 白 黄 緑
とか。
・2個の場合
例えば、
赤 青 白 赤 黄 緑
とか。
・3個の場合
例えば、
赤 青 白 黄 赤 緑
とか。
ですが、これは、2番目の赤を起点に考えれば
赤 緑 赤 青 白 黄
と同じですから、除外します。
なので、答えは「異なる5色を5つ並べた場合の組み合わせの総数×2」です。
具体的な数は書かなくても判りますよね?
この場合「2個ある色を起点に考える」ので「円順列」にならない事に注意が必要です。
この回答への補足
お礼の方に,トンチンカンなことを書いたようで失礼しました。
「具体的な数は書かなくても判りますよね?」とありますが,
是非教えて下さい。 香深
教えていただきありがとうございます。
[異なる5色を5つ並べた場合の組み合わせの総数×2]
とは,5C5 × 2 でしょうか。
となると,1 × 2 になるのでしょうか。
香深
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