平均値の定理:
微分可能な関数f(x)(a≦x≦a+h)に対して,
(f(a+h)-f(a))/h=f ’(a+θh)
をみたすθ(0<θ<1)が存在する。
もし
f ’(x)(a≦x≦a+h)が単調増加または単調減少であれば、
逆関数arc(f ’(x))が存在するので、上の式は、
arc(f ’((f(a+h)-f(a))/h))=a+θh
θ=(arc(f ’((f(a+h)-f(a))/h))-a)/h
となります。h→0のとき、θはどうなるのでしょうか?
たとえば、f(x)=sin x (0≦a≦x≦a+h≦π/2)のとき、
(sin(a+h)-sin(a))/h=cos(a+θh)
において、h→0のとき、θはどうなるのでしょうか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
θ=[Acos{(sin(a+h)-sin(a))/h}-a]/h となる。
h→0の極限はロピタルの定理により、lim θ=lim(d/dh)[Acos{(sin(a+h)-sin(a))/h}-a]/1
=(lim)-1/√[(1-{(sin(a+h)-sin(a))/h}^2] × [cos(a+h)-{sin(a+h)-sin(a)}/h]/h
ここで分母は、その中身がsinの微分でcosになるから
(lim)√[(1-{(sin(a+h)-sin(a))/h}^2]=√(1-cos^2(a))=sin(a)
また分子を M=[cos(a+h)-{sin(a+h)-sin(a)}/h]/h とおくと、ロピタルの定理より
lim M=lim[-sin(a+h)-{cos(a+h)h-(sin(a+h)-sin(a))}/h^2]
=-sin(a)- lim[ {cos(a+h)-(sin(a+h)-sin(a))/h }/h]
=-sin(a) -lim M
これをまとめると
lim M=-sin(a)/2
これらをもとの式に代入すると
lim θ=lim M/(-sin(a))=1/2
ちなみにf(x)=constで、0<θ<1 は任意(不定?)。
f(x)=x^nでは多分θ→1/2
f(x)=e^xではθ→0
のようです。
No.6
- 回答日時:
平均値定理を繰り返し使う っていうのは、
要するに A No.2 なんだが…
もとの平均値定理で θ の存在が保証される
条件は、f が一階微分可能なこと。
質問では、
f が単調という条件を追加しているけれども、
f' の連続性すら仮定していない。
f'' や f’’’ が出てくる解は、部分解。
ま、質問文中の例 f(x) = sin x や
f(x) = e^x には、使えるんだけれども。
No.5
- 回答日時:
#4さんの方法でよいようです。
平均値の定理を繰り返して使用すれば
f''(a)=0かつf'''(a)≠0ならばh→0のときθ→1/√3です。
帰納法を使えば、一般に
f^(i)(a)=0(i=2,...,n-1)かつf^(n)(a)≠0ならばh→0のときθ→(1/n)^(1/(n-1))
となることがわかります。
No.4
- 回答日時:
f に関する平均値定理(1次テイラーの定理)
f(a+h) = f(a) + f'(a+θh) h
f' に関する平均値定理(1次テイラーの定理)
f'(a+θh) = f'(a) + f''(a+μθh) θh
f に関する2次テイラーの定理
f(a+h) = f(a) + f'(a) h + f''(a+νh)/2 h^2
から
f''(a+μθh) θ = f''(a+νh)/2
となる θ,μ,ν が区間 (0,1) に存在することが判るから、
h→0 の極限をとれば、θ→1/2.
…と言えるのは、
f''(x) が x = a で連続かつ f''(a) ≠ 0
のときだけか。一般性が無いな。失敗。
f(x) = sin x, a = 0 では使えないが、
f(x) = e^x, a = 0 には使えるか。
No.2
- 回答日時:
たぶん
(sin(a+h)-sin(a))/h=cos(a+θh)
を満たす θ = θ(h) の h→0 における極限値を考えたいんだと思うけど>#1, もしそうなら両辺をテイラー展開したら何とかなりませんかね.
{f(a+h)-f(a)}/h = f'(a+θh) (0<θ<1)
{f'(a)h+f''(a)h^2/2+…}/h = f'(a)+f''(a)θh+f'''(a)θ^2h^2/2+…
f''(a)h/2+… = f''(a)θh+f'''(a)θ^2h^2/2+…
f''(a)/2+… = f''(a)θ+f'''(a)θ^2h/2+…
h→0のとき、θ→1/2
次に。
f(a+h) = f(a)+f'(a)h+f''(a+θh)h^2/2 (0<θ<1)
f(a)+f'(a)h+f''(a)h^2/2+f'''(a)h^3/6+ … = f(a)+f'(a)h+(h^2/2){f''(a)+f'''(a)θh/2+f''''(a)θ^2h^2/6+…}
f'''(a)h^3/6+ … = f'''(a)θh^3/4+f''''(a)θ^2h^4/12+…
f'''(a)/6+ … = f'''(a)θ/4+f''''(a)θ^2h/12+…
h→0のとき、θ→2/3
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