統計熱力学の冒頭部分です。

分散を求める2つの方法で、値が一致しなんです。
できるだけ見やすくなるように、可能な限り丁寧に、読み取りやすくなるように書きましたが、
ネット上の文章での数式であり、見づらいと思いますので、教科書があれば該当部を参照しながら読み進めてみてください。


N個の分子を、A、Bの2つの部屋に分けるとき、部屋Aにn個の分子がある確率をP_N(n)とすると、

P_N(n)
＝（Aにn個の分子がある場合の数）／（全ての場合の数）
＝NCn／2^N　　（Cは高校数学の確率で習うコンビネーション）
＝N!／{2^N・n!(N-n)!}


このP_N(n)の分散を求める方法は2つあります。
解法1と解法2で、なぜか結果が異なってしまうのです。
解法1には間違いはないはずです。

【解法1】
（解法1は、教科書に載っていることをそのまま書いただけです）


nの平均（nの期待値）
＝〈n〉
＝Σ(n＝0～N)　{n・P_N(n)}　＝　N／2・・・α
（途中計算は省きました）

〈n^2〉＝N(N+1)／4・・・β
（途中計算は省きました）


式α、βを以下の式に代入
分散
＝〈n^2〉ー〈n〉^2
＝N(N+1)／4　－　(N／2)^2
＝N／4


【解法2】
（解法2の(1)～(3)は、教科書に載っていることをそのまま書いただけです）
（僕が怪しいと思っているのは(4)からです）

(1)P_N(n)　（＝N!／{2^N・n!(N-n)!}）　の自然対数をとる
(2)x＝(n／N)－(1／2)とおき、P_N(n)をxで表わし、P_N(x)とする。
（(1)、(2)の途中計算は省略）

log P_N(x)　≒－2Nx^2
P_N(x)　≒exp(－2Nx^2)　＝A exp(－2Nx^2)・・・γ
（Aは比例定数）

(3)規格化（確率の総和＝1）よりAを求める。

式γを以下の式に代入
∫(－∞～∞)　P_N(x)　dx＝1
A＝√(2N／π)

よって、
P_N(x)　＝√(2N／π) exp(－2Nx^2)・・・δ

(4)分散を求める
式δを、以下の式に代入

分散
＝∫(－∞～∞)　x^2・P_N(x)　dx
＝1／(4N)


解法1では、分散＝N／4
解法2では、分散＝1／(4N)

No.1 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2014/05/04 15:45

解法２の方で求めているのはｎの分散ではなくｘ＝n/N-1/2の分散ですよね