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四角形ＡＢＣＤにおいて、対角線ＡＣ，ＢＤがＰで交わるとする。また、ＡＢ＝ＢＰ＝ＡＤ、∠ＡＢＣ＝∠ＢＤＣ、∠ＢＣＤ＝∠ＣＡＤが成立している。∠ＢＣＤの大きさを求めよ

No.1 ベストアンサー 回答者： yyssaa 回答日時： 2015/01/12 08:27

＞やっと解けました。

角度の単位はラジアン(180°=π)とします。
△ABCにおいて∠ACB=π-∠ABC-∠BAC
△CDPにおいて∠DCP=π-∠CDP-∠CPD
∠ABC=∠CDP、∠BAC=∠APB=∠CPD、よって∠ACB=∠DCP
すなわち、ACは∠BCDの二等分線。
∠ACB=∠DCP=α、∠ABC=∠CDP=β、∠BAC=∠APB=∠CPD=γ
∠ABP=∠ADP=δとおくと、∠PAD=∠BCD=∠ACB+∠ACD=2α
△ABCの内角の和：α+β+γ=π(ア)
△ABPの内角の和：2γ+δ=π・・・(イ)
△ADPの内角の和：∠APD=∠ABP+∠BAP=δ+γだから2α+2δ+γ=π・・・(ウ)
(ア)(イ)(ウ)からβをαで表すとβ=2π/3-5α/3・・・(エ)
正弦定理により△ABCでAB/sinα=AC/sinβ
同じく△ACDでは∠ADC=π-3αだからAD/sinα=AC/sin(π-3α)
AB=ADだからAC/sinβ=AC/sin(π-3α)
(エ)よりsinβ=sin(2π/3-5α/3)だから
sin(2π/3-5α/3)=sin(π-3α)
x,y＜πでsinx=sinyが成り立つのはx+y=πのときだから
2π/3-5α/3+π-3α=π→α=π/7
∠BCD=2α=2π/7(ラジアン)・・・答