数学（経済学分野）

数学が苦手で、経済学分野の計算問題がわからず行き詰まっております。お教え戴きたくこのカテゴリで質問致しております。
専門家の皆様計算方法、解説（解説）お願いします。
道路建設の費用と便益を仮定
初期費用　800億
30年間毎年得られる便益80億,毎年の費用10億
31年目以降毎年必要な維持管理費2億






3つのケース、1000年間の費用と便益を比較したい。
一.割引なし
二.2.5％指数割引
三.Time-declining discount rateによる割引（当初50年間 3.5％,50～100年間2.5％,100～200年目1.5％,200～300年目0.5％,300年目以上0.0％）

質問者からの補足コメント

• エクセルを使って出せるみたいなのですが、計算の方法がわかりません。急いでいます。よろしくお願いします。

    補足日時：2015/07/26 10:27

• ご回答戴き誠にありがとうございます。割引は、複利による利息と逆の概念である事は理解致しました。初心者で初歩的な質問で申し訳ございませんが、私の質問している問題　一.「割引なし」1000年間の費用と便益の出し方でも具体的に解答（解説）ご教授いただけませんでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/07/26 11:09

• 

  どなたか道路建設の費用と便益で仮定（上記）
  1000年間費用と便益について
  ①割引なし
  ②2.5％指数割引　（エクセルなど）計算解答（解説）を教えて下さい。

    補足日時：2015/07/26 12:17

• （1）問題　以下の3ケースについて、1000年間（★本来あり得ない長期間ですが）の費用と便益の純現在価値を比較しなさい。
  ①割引なし,②3.5％指数割引③Time-declining discount rateによる割引
  
  道路建設という表現ではなく、あるプロジェクトの費用と便益を以下のように仮定。
  -初期費用800億「便益-費用」での余剰金を返済
  -30年間の毎年の粗便益70億、毎年の費用10億（31年目以降の粗便益はゼロ）
  -31年目以降の毎年の廃棄物管理費用は2億（費用管理費2億のみで、30年目まで必要だった「毎年の費用10億はなくなる」その他の粗費用・粗便益はゼロ）

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/07/26 20:33

• 申し訳ございませんが、解答（解説）よろしくお願いします。

    補足日時：2015/07/26 22:03

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2015/07/27 12:55

No.4です。

少し補足。

　いちいちNo.4のようなエクセル表を作らなくとも、仕組みが分かっていれば「等比級数」（等比数列の和）の式

　　Sn = a0 * ( 1 - r^n ) / ( 1 - r )

を使って、割引率を r （≠1）、年数を n に代入して合計値が計算できます。これは高校数学の範囲かもしれません。

　この式を使って求めてみましょう。

①これは「等比級数」は必要ありません。単純積算です。
　便益 = 80億円 × 30年 = ￥240,000,000,000
　費用 = 10億円 × 30年 + 2億円 × 970年= ￥224,000,000,000
　初期費用：800億円= ￥80,000,000,000


②割引率2.5%
(1)便益：等比級数において
　r = 1/1.025 , a0 = 80億円 × 1/1.025、n=30
よって、
　S30 = 80*10^8 * 1/1.025 * [ 1 - (1/1.025)^30 ] / [ 1 - (1/1.025) ]
　　　= 167,442,340,742

(2)費用：1～30年：
等比級数において
　r = 1/1.025 , a0 = 10億円 × 1/1.025、n=30
よって、
　S30 = 10*10^8 * 1/1.025 * [ 1 - (1/1.025)^30 ] / [ 1 - (1/1.025) ]
　　　= 20,930,292,593

31～1000年：
等比級数において
　r = 1/1.025 , a0 = 2億円 × 1/1.025^31、n=970
よって、
　S31_1000 = 2*10^8 * 1/1.025^31 * [ 1 - (1/1.025)^970 ] / [ 1 - (1/1.025) ]
　　　= 3,813,941,481

以上から
　便益 = ￥167,442,340,742
　費用 = ￥20,930,292,593 + ￥3,813,941,481 = ￥24,744,234,074
　初期費用：800億円= ￥80,000,000,000


③変動割引率
(1)便益：1～30年は、割引率3.5%なので、等比級数において
　r = 1/1.035 , a0 = 80億円 × 1/1.035、n=30
よって、
　S30 = 80*10^8 * 1/1.035 * [ 1 - (1/1.035)^30 ] / [ 1 - (1/1.035) ]
　　　= 147,136,363,291

(2)費用：1～30年：
等比級数において
　r = 1/1.035 , a0 = 10億円 × 1/1.035、n=30
よって、
　S30 = 10*10^8 * 1/1.035 * [ 1 - (1/1.035)^30 ] / [ 1 - (1/1.035) ]
　　　= 18,392,045,411

31～50年：
等比級数において
　r = 1/1.035 , a0 = 2億円 × 1/1.035^31、n=20
よって、
　S31_50 = 2*10^8 * 1/1.035^31 * [ 1 - (1/1.035)^20 ] / [ 1 - (1/1.035) ]
　　　= 1,012,714,492

51～100年：
等比級数において
　r = 1/1.025 , a0 = 2億円 × 1/1.035^50 × 1/1.025、n=50
よって、
　S51_100 = 2*10^8 * 1/1.035^50 * 1/1.025 * [ 1 - (1/1.025)^50 ] / [ 1 - (1/1.025) ]
　　　= 1,015,673,523

101～200年：
等比級数において
　r = 1/1.015 , a0 = 2億円 × 1/1.035^50 × 1/1.025^50 × 1/1.015、n=100
よって、
　S101_200 = 2*10^8 * 1/1.035^50 * 1/1.025^50 × 1/1.015 * [ 1 - (1/1.015)^100 ] / [ 1 - (1/1.015) ]
　　　= 537,869,364

201～300年：
等比級数において
　r = 1/1.005 , a0 = 2億円 × 1/1.035^50 × 1/1.025^50 × 1/1.015^100 × 1/1.005、n=100
よって、
　S201_300 = 2*10^8 * 1/1.035^50 * 1/1.025^50 × 1/1.015^100 × 1/1.005 * [ 1 - (1/1.005)^100 ] / [ 1 - (1/1.005) ]
　　　= 184,637,764

301～1000年：
割引率0.0%なので、毎年の費用の現在価値は、
　 2*10^8 * 1/1.035^50 * 1/1.025^50 × 1/1.015^100 × 1/1.005＾100
　　　= 1,427,608

以上から
　便益 = ￥147,136,363,291
　費用 = ￥18,392,045,411 + ￥1,012,714,492 + ￥1,015,673,522 + ￥537,869,364 + ￥184,637,764 + ￥1,427,608 × 700年
　　 = ￥22,142,265,839
　初期費用：800億円= ￥80,000,000,000


　エクセル表で求めたものとでは、「1円未満」の取扱いで、多少結果が異なるかもしれません。
　一応、ご参考まで。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2015/07/27 12:51

No.1&2&3です。

暑くて頭が回りませんが、できる範囲でやってみました。

　No.3に、負債の割引はどう考えるのか分からないと書きましたが、どうやら利益も借金も、「将来の貨幣的収支の現時点から見た価値」ということで、収入・支出とも同様な「割引」計算で同じように割り戻せばよいようです。
http://www.weblio.jp/content/%E7%8F%BE%E5%9C%A8% …


　以下、将来1000年間のキャッシュフローを「現在価値」で表わすエクセル表の作り方を示します。私自身が「1000行」の表を作るつもりはないので、答はご自分でやってみてください。

（１）エクセル表のA列の11行目から、縦方向に1~1000の数値を入力します。これは「年数：n」です。（A11セルに「1」を入力し、「CTRL」を押しながら縦方向にドラッグしていくと、1つずつ加算された数値が「ダ～っ」と入力できます）

（２）1～10行目は「見出し」に使います。
　　　A9セルに、「現在価値合計」と入れましょう。
　　　A7セルに「年数：n」、B7セルに「初期費用」、C6セルに「発生キャッシュ」、C7セルに「便益」、D7セルに「費用」、E6セルに「割引なし」、E7セルに「便益」、F7セルに「費用」、G6セルに「割引率2.5%」、G7セルに「便益」、H7セルに「費用」、I6セルに「変動割引率」、I7セルに「便益」、J7セルに「費用」と入力しましょう。

（３）B列～J列には「数値」が入りますので、表示形式を「数値、小数点以下0桁」あるいは「通貨」「会計」に書式設定しましょう。桁数が多いので、「桁区切り（,）を使用する」にした方がよいでしょう。

（４）B9セルには「初期費用：80,000,000,000」を入力。これは最初から「現在価値」なので、この数値はこれ以上いじりません。

（５）C列「便益」には、各年の便益をそのまま記入。A列のn=1～30は「8,000,000,000」、A列のN=31～はゼロ。

（６）D列「費用」には、各年の費用をそのまま記入。A列のn=1～30は「1,000,000,000」、A列のN=31～1000は「200,000,000」。

（７）E列、F列は「割引なし」なので、C列、D列をそのままコピー。

（８）E9セル、F9セルに、n=1～1000の合計「SUM(E11:E1010）」「SUM(F11:F1010）」を計算すれば、これが1000年間の便益、費用を現在価値に割り引いた合計値です。

　→①の答になります。

（９）G列、H列は「割引2.5%」なので、C列、D列の数値を「現在価値」にするために、Gnセルに「=Cn/1.025^An」の式を設定。これは「年率2.5%複利でn年分割引」を意味します。
　同様に、Hnセルに「=Dn/1.025^An」の式を設定。
　これを、n=1～1000 に全て設定（注）。これで、n=1～1000年目に発生する便益（31年目以降はゼロ）、費用を全て「現在価値」に割引いた数値がG列、H列に書き出されたことになります。
（私の計算に間違いがなければ、803年目以降の「費用」の現在価値はゼロとなる。ただし、エクセルのセル内には、1未満の数値として存在するので、集計するときに要注意）
（注）便益は31年目以降ゼロなので、n=31以降のG列の計算式は不要）

（10）G9セル、F9セルに、n=1～1000の合計「SUM(G11:G1010）」「SUM(H11:H1010）」を計算すれば、これが1000年間の便益、費用を現在価値に割り引いた合計値です。

　→②の答になります。

（11）I列、J列は、年数nの値によって割引率が変わります。n=1～50では「割引率3.5%」なので、C列、D列の数値を「現在価値」にするために、
　Inセルに「=Cn/1.035^An」の式を設定。これは「年率3.5%複利でn年分割引」を意味します。
　同様に、Jnセルに「=Dn/1.035^An」の式を設定。
　これを、n=1～50 に全て設定（注）。これで、n=1～50年目に発生する便益（31年目以降はゼロ）、費用を「現在価値」に割引いた数値がI列、J列に書き出されたことになります。
（注）便益は31年目以降ゼロなので、n=31以降のI列の計算式は不要）

（12）n=51～100では「割引率2.5%」なので、C列、D列の数値を「現在価値」にするために、
　Jnセルに「=Dn/(1.035^50*1.025^(An-50))」の式を設定。これは「50年間を年率3.5%複利で、残りの(n-50)年間を年率2.5%複利で割引」を意味します。
（I列は、31年目以降は便益がゼロなので計算不要）
　これを、n=51～100 に全て設定。これで、n=51～100年目に発生する費用を「現在価値」に割引いた数値がI列、J列に書き出されたことになります。

（13）同様のことを繰り返します。
　n=101～200では「割引率1.5%」なので、C列、D列の数値を「現在価値」にするために、
　Jnセルに「=Dn/(1.035^50*1.025^50*1.015^(An-100))」の式を設定。これは「50年間を年率3.5%複利で、さらに50年間を年率2.5%複利で、残りの(n-100)年間を年率1.5%複利で割引」を意味します。
　これを、n=101～200 に全て設定。これで、n=101～200年目に発生する費用を「現在価値」に割引いた数値がI列、J列に書き出されたことになります。

（14）さらに同様のことを繰り返します。
　n=201～300では「割引率0.5%」なので、C列、D列の数値を「現在価値」にするために、
　Jnセルに「=Dn/(1.035^50*1.025^50*1.015^100*1.005^(An-200))」の式を設定。これは「50年間を年率3.5%複利で、さらに50年間を年率2.5%複利で、さらに100年間を年率1.5%複利で、残りの(n-200)年間を年率0.5%複利で割引」を意味します。
　これを、n=201～300 に全て設定。これで、n=201～300年目に発生する費用を「現在価値」に割引いた数値がI列、J列に書き出されたことになります。

（15）n=301～1000では「割引率0.0%」なので、C列、D列の数値を「現在価値」にするためには
　Jnセルに「=Dn/(1.035^50*1.025^50*1.015^100*1.005^(An-200))」の式を設定。これは「50年間を年率3.5%複利で、さらに50年間を年率2.5%複利で、さらに100年間を年率1.5%複利で、さらに100年間を年率0.5%複利で割引、それ以降は割引なし」を意味します。
　これを、n=301～1000 に全て設定。これで、n=301～1000年目に発生する費用を「現在価値」に割引いた数値がI列、J列に書き出されたことになります。

（16）I9セル、J9セルに、n=1～1000年目の合計「SUM(I11:I1010）」「SUM(J11:J1010）」を計算すれば、これが1000年間の便益、費用を現在価値に割り引いた合計値です。

　→③の答になります。


　ふうっ！　力技ですが、各セルに設定する数式が、経済学的にどういう意味を持つのか、よく考えてエクセル表を作成してください。機械的にセルの式をコピーするだけでは無意味です。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2015/07/27 01:27

私は、この手の計算に詳しくないので、例えば31年目以降のように、「費用」のみが発生する場合の割引をどう処理するのか、よく分かりません。

借金なので、「割引」ではなく「利息」を付加するのでしょうか。
　質問者さんの方が、そういう「常識」はご存じなのではないかと思います。

　少なくとも、「①割引なし」では、N年後の将来価値＝現在価値ですから、何の悩みもなく計算できるはず。
　②では、Ｎ年後の便益を年率2.5%で現在価値に割引するには「1/1.025^N」にする。「費用」の割引は逆に利息を加算するなら、「1.025^N」倍にすればよいのです。
　1～30年まで3.5％、31年目以降が2.5%なら、31年目以降は「1/[1.035^30 * 1.025^(N-30)]」で割り引く。
　以上の考え方で、1～1000年後に発生する便益、費用を、発生年に応じて現在価値に変換できると思います。あとはそれを積算するだけ。
　

　なお、当初の質問と、途中で書かれた補足で、いろいろ条件が違っているのが気になります。

30年間毎年得られる便益：
当初：80憶、No.2への補足：粗便益70億

質問内容の②：
当初：2.5％指数割引、No.2への補足：3.5％指数割引

③Time-declining discount rateによる割引
変わり目の50年目は3.5％か2.5％か、100年目は2.5%か1.5%か、など。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/07/26 19:42

No.1です。

「計算のしかた」が分からないのではなく、「そもそも何を計算すればよいのか分からない」のではありませんか？

　私は、「そもそも何を計算すればよいのか分からない」ので、回答できません。最低限、下記のような「計算すべき条件」を明記する必要があると思います。

（１）何故「1000年間」などという、あり得ない計算をするのですか？
（２）「初期費用　800億」は、どのように返済するのですか？　「便益－費用」での剰余金を返済に充てるのですか？
（３）「30年間毎年得られる便益80億,毎年の費用10億 」とありますが、31年目以降の便益は「0」なのですか？　（31年目以降は、道路使用料が無料？）
（４）「31年目以降毎年必要な維持管理費2億」とありますが、費用は維持管理費2億のみということですか？　30年目まで必要だった「毎年の費用10億 」は、31年目からはなくなるのですか？

　「そもそも何を計算すればよいのか分からない」ものが、エクセルを使うと突然計算できるようになる、ということはあり得ませんので、念のため。

　上記の毎年の収入・支出が明らかになれば、毎年の便益（収入）と費用（支出）と借金残高（完済すれば、それ以降は貯金）を求め、それを「現在価値」に割り戻すだけだと思います。

　「数学が苦手で」と言い訳をしていますが、「経済学が分からない」ことを、勝手に「数学」のせいにしているのではありませんか？　（厳しいことを言ってすみません）

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/07/26 10:35

数学の問題というよりは、「どういうことか」「どういう式で表わされるか」が分からない、ということですね？

　「利息」という考え方は、理解していると思います。普通は「複利」です。
　銀行にお金を預けておけば、利息が付いて増えます。「複利」では、翌年は、「元金+利息」を元金として利息が付きます。毎年毎年、利息分だけ元金が増えていくわけです。
　これで、今のお金が、たとえば10年後にいくらになるかを計算できます。
　これは、いろいろなサイトに計算の公式や、その導き方が載っています。
http://mathtrain.jp/hukurikeisan
http://oto-suu.seesaa.net/article/273430750.html

　「割引」は、その逆です。10年後の百万円は、現在価値では、その「複利による利息」を差し引いていくらになるか、という計算です。
　今90万円を預けて、10年後に100万円になるなら、10年後の100万円は、現在価値では「割り引かれて」90万円になる、ということです。
　つまり「割引」は、「複利による利息」と逆のことをすればよい、というだけの話です。

　この仕組みと、上に示した「複利計算」が分かれば、「割引」の問題は楽に解けるはずです。
http://money-learn.seesaa.net/article/179534122. …

　問題は、「利息」や「割引」を「複利」で計算するときに、計算するもととなる「元金」が、毎年変わることです。
　これは、

（１）「１年目、２年目、３年目、・・・」と具体的に書き出してみる。
（２）それが「ｎ年目」で一般化するとどうなるか、を考える。
　　（これは、「公式」のような形であちこちに載っているはず）
　　これを「暗記」するだけではなく、一度でよいので、なぜそうなるか（１）から導き出してみる。
（３）以降は「公式」を使う。

ことで対応できると思います。

　あとは、何が増えたり減ったりするのか、というのをよく読み取って（国語力）、それを式の中にどう表わすか、という「経済的センス」の問題なのではないでしょうか。数学的には、中学までの数学のレベルで対応できると思います。