aを正の数とする。次の条件を満たす4面体OABCを考える。
∠AOB=∠AOC=90度、OB=4、BC=5、OC=4、OA=a
(1)∠BAC=θとおく。cosθをaで表せ。
また、三角形ABCの面積をaで表せ。
(2)球面S1が4面体OABCのすべての面に接するとき、S1の半径をaで表せ。
(3)O,A,B,Cが球面S2上にあるとき、s2の半径をaで表せ。
(疑問)
(1)(2)は問題集の解答とあっていたのですが、
(3)が自分の考え方がどうも違うらしく、解答と合いません。
(自分の考え)
∠BOC、∠COA、∠BOA=90度より、外接球の中心をPとすると、
Pから各直角三角形へおろした垂線の足は各直角三角形の斜辺の中点上になる。
よって各直角三角形の垂直2等分線上の三角形ABCの外心がPと一致するとしたのですが、どこがまずいのでしょうか?
A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
最終結果はそれで OK>#2.
まあ, OA, OB, OC が互いに垂直だから四面体OABC の外接球は OA, OB, OC を 3辺とする直方体の外接球に一致することに気付けば簡単.
No.2
- 回答日時:
∠BOC、∠COA、∠BOA=90度より、外接球の中心をPとすると、
Pから各直角三角形へおろした垂線の足は各直角三角形の斜辺の中点上になる。
よって各直角三角形の垂直2等分線上の三角形ABCの外心がPと一致する
普通、上記のような書き方だと、わかりにくいのでは?
そのような書き方をしないのでは?
言いたいことはわかりますが・・・・・
表現の仕方が難しいですね。自分でも、どのように書いたらいいのか悩みます。
「Pが三角形ABCの外心と一致する」とすると、
AP=BP=CP
になるわけですが、
例えば、辺ABの中点をMとすると、
Pは三角形の外心だから、
∠AMP=∠BMP=90°
になり、三角形AMPと三角形BMPで、それぞれ三平方の定理より、
AP^2=AM^2+MP^2
BP^2=BM^2+MP^2
AM=BMだから
AP^2=BP^2
つまり、
AP=BP
問題は、このとき、
OP=AP(=BP=CP)になるかどうかですが、
三角形OABは、∠AOB=90° の直角三角形だから、
OM=AM(=BM)になります。
ここで、
∠OMP=90° かどうかがわからないから
三角形OMPで、三平方の定理が使えないことになります。
だから、
OP^2=OM^2+MP^2 (この式が作れないから、これ以降が考えることができない)
OM=AMだから、
OP^2=AP^2
つまり、
OP=AP
が成り立たないと思います。
だから、質問の考え方だと、「まずい」ことになるのではないでしょうか。
三角形OBCが三辺の長さがわかるので、
三角形OBCを底辺にして考えると、わかるのではないでしょうか。
∠BOC=90° がわかったから、
∠AOB=∠BOC=∠AOC=90° だから、
AはOの真上にあります。
三角形OBCは、∠BOC=90° の直角三角形だから、
三角形BOCの外心をDとすると、Dは辺BC上にあります。
(このとき、BC=5より、BD=CD=OD=5/2)
球面S2の中心Pは、このDの真上にあります。
三角形BOC⊥PD だから、
∠PDB=∠PDO=∠PDC=90°
三角形PDB、三角形PDO、三角形PDCで、それぞれ三平方の定理を使えば、
PB=PO=PC
が成り立ちます。
また、PO=PAであるから、
OAの中点をEとすると、
PD=OE=AE=a/2
だから、
PO^2=OD^2+PD^2
=(5/2)^2+(a/2)^2
=25/4+a^2/4
PO>0より
PO=(1/2)√(a^2+25)
になるのではないでしょうか。
答えが、合っていればよいのですが・・・・・。
No.1
- 回答日時:
まず, S2 の中心を P とすると P は 4点 O, A, B, C から等距離にある. んで, 例えば直角三角形OAB の 3点から等距離にあるってことは, P は斜辺 AB の中点 D (直角三角形OAB の外心) を通って面OAB に垂直な直線上 l にある.
ところが条件から C は O を通って面OAB に垂直な直線上にある. つまり l と面ABC の交点は D だけだ.
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大変申し訳ございません。
条件部分に間違いがありました。
×OC=4○OC=3です。
三角形BOCについて4^2+3^2=5^2ですから、∠BOC=90度です。