x^4-16x^3+ax^2-bx+c=0が4つの異なった整数解を持つような組(a.b.c)は何通り

女子医大2010-3教学社赤本より引用
abcを正の整数とする。このときx^4-16x^3+ax^2-bx+c=0が4つの異なった整数解を
持つような組(a.b.c)は何通りあるか。どう解きますか。
答えは9通りです。
４次の解と係数の関係を使うしかないでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 相反方程式はどうですか。

    補足日時：2015/12/25 05:30

• 回答者皆様のお力添えにより疑問点が整理されました。こちらの疑問点について教えていただきたいと思います。
  
  異なる4整数解をα、β、γ、δとする。
  α+β+γ+δ=16
  ここでx=α、β、γ、δが負の整数とすると
  x^4-16x^3+ax^2-bx+c=(-α)^4-16(-α)^3+a(-α)^2-b(-α)+c>0となり解を持たない。
  異なる4整数解α、β、γ、δは正の整数。0のぞくのはαβγδ=c、cは正の整数のため。
  4α<α+β+γ+δ<4γ
  α<4<γ
  たして16になる数を考えると
  10.3.2.1
  9.4.2.1
  8.5,2.1
  8.4.3.1
  7.6.2,1
  7.5.3.1
  6.5.3.2など
  とにかく書き出して9通り。ここでまずよく間違えます。数え落とし。数え過ぎ。ここ書き出そうにしても何か良い方法を知りたい。

    補足日時：2015/12/25 19:37

• さらに解答解説ではこれら9通りのα.β,γ,δに応じて異なるabcの組みも9通りとしています。なぜですか。ここも分からないのです。
  
  補足-参考文献 教学社赤本大学入試シリーズ2012東京女子医大339p52参照
  文字数オーバーで2つに分けました。

    補足日時：2015/12/25 19:39

• >解の組 {α, β, γ, δ}（順序に意味はない）と係数の順序対 (1, -16, a, -b, c) が１対１に対応する。
  tacosanさまのご指摘の通りここも分かっていませんでした。これはなぜ1対1に対応するのですか。

    補足日時：2015/12/26 02:15

• 数え上げの方法。書きましたが効率が悪いです。何かアイディアありませんか。
  1 2 を固定
  (縦方向の数左側２列
  10 987は順に減らす。
  3456順に増やす。
  10 321
  9421
  8521
  7621
  
  3,1を固定
  8,4,3,1
  7,5,3,1
  
  4,1を固定
  6541
  
  3,2を固定
  7432
  6532

    補足日時：2015/12/26 06:25

• 回答者様の文を引用しまとめます
  解が決定されれば
  三次でも四次でも、ｓ(ｘ－解1)(ｘ－解2)(ｘ－解3)......=0(ここ0入りますか。違っていたら教えてください)という書き方になる。
  よって解が決定されｓが固定なら式は１通りに定まる。よって係数も１通りに定まる。
  
  これでいいでしょうか。

    補足日時：2015/12/26 20:10

• 組(a.b.c)は例えばですが(1.2.3),(1.2.4)のように一部の係数が同じになることはありますよね。
  なぜなら(x+1)(x-4)=x^2-3x-4 (-3.4)
  (x-1)(x-2)=x^2-3x+2 (-3.2)
  
  ですが(1.2.3)が二回でてくることはないってことですか。なぜですか。解が分数だったりマイナスなら一致したりしそうです。もう少しで完全にわかりそうです。

    補足日時：2015/12/26 20:41

• 解が決定されれば
  三次でも四次でも、ｓ(ｘ－解1)(ｘ－解2)(ｘ－解3)......=0と書ける。
  よって解が決定されｓが固定なら式は１通りに定まる。よって係数も１通りに定まる。
  この解とは正の整数限定ではありませんよね。解は実数の範囲ですよね。

    補足日時：2015/12/26 20:59

• 補足があと一回しか出来ないため
  a+b+c+d=16ただし 0＜a＜b＜c＜dの部分は質問を上げ直しました。
  ここまで詳しく回答いただきありがとうございました。ここまで数学の質問にお付き合いしていただけることはそうはありません。
  大変勉強になりました。

    補足日時：2015/12/27 04:13

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/24 14:35

まあ 4次方程式の解と係数の関係を使うのが最も簡単だろうねぇ.

この回答へのお礼

ありがとうございます。しかしかなり繁雑です。何かアイディアはないでしょうか。

お礼日時：2015/12/25 02:59

No.2 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/12/25 01:18

入試本番なら解かない。

他を解く。

ｘ^4－１６ｘ^3＋ａｘ^2－ｂｘ＋ｃ＝０
は、
ｙ＝ｘ^4－１６ｘ^3とｙ＝－ａｘ^2＋ｂｘ－ｃ
の交点という考え方もできるでしょう。
ｙ＝ｘ^4－１６ｘ^3を描いてやると、たぶんｘ＝－３辺りとｘ＝11辺りでこの四次曲線に2点で接する接線と、それを上に平行移動して、ｘ＝４辺りで接する接線との間に、ｙ＝－ａｘ^2＋ｂｘ－ｃが通っていることが条件かもしれません。
そこの証明をどうするか、ってのは今のところノーアイディアです。

と考えてみると、
ｙ＝ｘ^4－１６ｘ^3＋ａｘ^2とｙ＝ｂｘ－ｃについて、上記のように検討できれば良いかなぁという気がしないでも無いです。
ｙ＝ｘ^4－１６ｘ^3＋ａｘ^2に変曲点(たぶん０＜ｘ＜３の辺りにある)で接するｙ＝ｂ'ｘ－ｃ'(ｂ'＞０、ｃ'＞０)を考える。たぶん。
整数の所をどうするのか、というのはノーアイディアですし、解けるかどうかは不明です。
たぶんｂとｃは接線のｂ'とｃ'よりそれぞれ小さくなるのでしょう。

この回答へのお礼

詳しい回答ありがとうございました。
しかし
ｘ^4－１６ｘ^3＋ａｘ^2－ｂｘ＋ｃ＝０
は、
ｙ＝ｘ^4－１６ｘ^3とｙ＝－ａｘ^2＋ｂｘ－ｃ
の交点。
ここがわかりません。ぜひ補足お願いします。

お礼日時：2015/12/25 03:02

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/12/25 12:29

まずは実験。

ｙ＝ｘ^2・・・・・い
ｙ＝－ｘ＋６・・・・・ろ
ｙ＝ｘ^2＋ｘ－６・・・・・は
三本のグラフを描いて下さい。
「い」と「ろ」の交点のｘ座標はどこか。
「は」でｙ＝０(ｘ^2＋ｘ－６=０)となるｘ座標はどこか。

放物線で面白いのは、斜めの直線を引いた(加減乗除の減)から斜めになったり左側の傾きが小さくなったりするんじゃ無いんですね。
放物線が只平行移動するだけ。
放物線の形状自体は2乗の項の係数で決まる。

さて、
ｘ^4－１６ｘ^3＋ａｘ^2－ｂｘ＋ｃ＝０が成り立つとき、
ｘ^4－１６ｘ^3＝－ａｘ^2＋ｂｘ－ｃ
ですよね。三つ移項しただけ。
ｘ^4－１６ｘ^3＋ａｘ^2－ｂｘ＋ｃ＝０とは、ｘに解を入れれば、その式が０になりますよ、という意味。
その時、ｘ^4－１６ｘ^3＝－ａｘ^2＋ｂｘ－ｃの両式が等しくなる、という意味でもあります。
ｘ^4－１６ｘ^3＝－ａｘ^2＋ｂｘ－ｃ
は、左辺のｘと右辺のｘとは違う値、なんてことはありませんよね。どっちも同じ、当たり前。
では、ｙ1＝ｘ^4－１６ｘ^3、ｙ2＝－ａｘ^2＋ｂｘ－ｃとしたときに、ｙ1＝ｙ2、ｘは両方同じ。
つまり、(ｘ,ｙ)が共通なのですから、交点でしょう。
その交点のｘ座標が、解なわけです。

放物線に戻ると、
放物線と直線の関係、接するとか交わるとか交わらないとか、それは、放物線から直線を引いてやれば、新たな放物線とｘ軸との関係に持って行けるのです。
んで、判別式だの何だの使える。

ｙ＝ｘ^2
ｙ＝ｘ^2－１
ｙ＝ｘ^2＋１
とｘ軸との関係は、ｙ1＝ｘ^2に対して、ｙ2＝０、ｙ2＝１、ｙ2＝－１の直線がそれぞれあるのと、ある意味相対的に同じこと。

ｘ^4－１６ｘ^3＋ａｘ^2－ｂｘ＋ｃ＝０
を、ｘ^4－１６ｘ^3＋ａｘ^2－ｂｘ＝－ｃ
とする切り方もあるでしょう。
左辺が描きやすいグラフであれば、ｙ2＝－ｃがｘ軸の下をうろうろする。それで4解を持つ条件は、というのは、図形的には見易いとは思います。
こっちの方が良いのかも。極小極大出してやって。

ｙ1＝ｘ^4－１６ｘ^3＋ａｘ^2－ｂｘ
には、必ず原点を通る、というメリットも場合によってはあるかもしれません。

この回答へのお礼

ありがとうございました。このような解き方もあるのですね。素晴らしいです。大変勉強になりました。

お礼日時：2015/12/25 19:41

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/25 13:53

え? 繁雑?

その「繁雑」な方法を, 具体的に教えてもらえませんか?

この回答へのお礼

疑問点が整理されました。ありがとうございました。いつも鋭い素晴らしい回答で大変ありがたく思っています。繁雑というよりあやふやな点がわかりました。

異なる4整数解をα、β、γ、δとする。
α+β+γ+δ=16
ここでx=α、β、γ、δが負の整数とすると
x^4-16x^3+ax^2-bx+c=(-α)^4-16(-α)^3+a(-α)^2-b(-α)+c>0となり解を持たない。
異なる4整数解α、β、γ、δは正の整数。0のぞくのはαβγδ=c、cは正の整数のため。
4α<α+β+γ+δ<4γ
α<4<γ
たして16になる数を考えると
10.3.2.1
9.4.2.1
8.5,2.1
8.4.3.1
7.6.2,1
7.5.3.1
6.5.3.2など

とにかく書き出して9通り。ここでまずよく間違えます。数え落とし。数え過ぎ。ここ書き出そうにしても何か良い方法を知りたい。

さらに解答解説ではこれら9通りのα.β,γ,δに応じて異なるa,b,cの組みも9通りとしています。なぜですか。ここも分からないのです。

参考文献 教学社赤本大学入試シリーズ2012東京女子医大339p52参照

お礼日時：2015/12/25 19:31

No.5 回答者： hiccup 回答日時： 2015/12/25 18:22

解の組 {α, β, γ, δ}（順序に意味はない）と係数の順序対 (1, -16, a, -b, c) が１対１に対応することに注目すると、解と係数の関係のひとつの式だけで解決するではないか。

じれったくてコメントするよ、ぷんぷん。

この回答へのお礼

ひとつの式ですか。4次方程式の解と係数の関係式は4つあるのではないかと思ってしまいます。

ごめんなさい。もっとよく考えますが分からないかも知れません。
是非補足お願いします。

お礼日時：2015/12/25 18:37

No.6 回答者： hiccup 回答日時： 2015/12/25 19:46

お、申し訳ない。

正の整数解といつの間にか誤認していたよ。
自分にプンプン。
考えてみる。

この回答へのお礼

いいえhiccupさまが正解です。
x=α、β、γ、δが負の整数とすると
x^4-16x^3+ax^2-bx+c=(-α)^4-16(-α)^3+a(-α)^2-b(-α)+c>0となり解を持たない。
異なる4整数解α、β、γ、δは正の整数。0のぞくのはαβγδ=c、cは正の整数のため。
このため正の整数解で正しいです。ありがとうございます。回答お待ちしております。

お礼日時：2015/12/25 19:53

No.7 回答者： hiccup 回答日時： 2015/12/25 21:40

No.5, 6 です。

αβγδ>0 から負の解の個数の可能性は０、２、４個。
α+β+γ+δ>0 から４個は否定される。
２個は否定されるかを考え中。
やりたいことあって集中できないが。

この回答へのお礼

ありがとうございました。補足も書きましたのでそちらも是非回答していただきたいです。

お礼日時：2015/12/26 06:35

No.8 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/12/25 22:59

ｘが負の時は、ｙは負の値になりようが無いのです。

各項が全部正になっちゃいますんで。
従って、解は全て正か０です。
ｃが０のときのグラフは原点を通りますんで(ｘ＝０のとき、必ずｙ＝０)、グラフを上下に平行移動させるｃが０でないなら原点を通りません。本当はもっと正確な説明が必要ですが。

> 4α<α+β+γ+δ<4δ

とα+β+γ+δ＝１６だけで良かったのか。

> abcの組みも9通りとしています。なぜですか。

ｙ＝(ｘ－α)(ｘ－β)(ｘ－γ)(ｘ－δ)
ですから、abcを計算したら。

グラフから導き出すのは、三次式の解が出せないから無理ですね。

この回答へのお礼

もう少しでわかりそうです。
>ｙ＝(ｘ－α)(ｘ－β)(ｘ－γ)(ｘ－δ)
>ですから、abcを計算したら。

ここ詳しくお願い申し上げます。

お礼日時：2015/12/26 01:12

No.9 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/25 23:26

「足して 16 になる整数」をどうやって書き出すかだが, これはもう「慣れ」というのが早いかもしれん. 困ったら樹形図でも書け.

あと, 「これら9通りのα.β,γ,δに応じて異なるa,b,cの組みも9通り」というのは #5 にある通りだな.

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。しかし
>あと, 「これら9通りのα.β,γ,δに応じて異なるa,b,cの組みも9通り」というのは #5 にある通りだな.
ここが分からないです。

お礼日時：2015/12/26 01:14

No.10 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/26 01:44

へ?

解が (全体として) 同じなら係数は同じになるに決まってるし, 逆に係数が全て決まればそこから解は (全体として) 1種類しかありえないでしょ?

っつ～か, #5 に書いてあるんだけど, そこは疑問に思わなかった?

この回答へのお礼

αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ=a
αβγ+αγδ+αβδ+βγδ=b
αβγδ=c
上の式に求めた9種類のα,β,γ,δ代入して計算したらα,β,γ,δの値が違ってもa,b,cの値が同じになることがあるのではないか。何を言っているかというとα,β,γ,δは9種類あってもa,b,cは8種類とか7種類になることがあるのではないかと思ってしまうのです。

おそらく
解が同じなら係数同じ。
係数同じなら解同じ。
これも分かっていません。

お礼日時：2015/12/26 02:08